Wie kann ich erkennen das z.B. 709 eine Primzahl ist ohne Taschenrechner?

Hallo,

indem du bis zur Wurzel dieser Zahl, die Zahl auf Teilbarkeit durch die Primfaktoren prüfst.

Also z.B. Wurzel(709) = 26,6

709:2 = keine natürliche Zahl

709:3 = keine natürliche Zahl

709:5 = keine natürliche Zahl

709:7 = keine natürliche Zahl

709:11 = keine natürliche Zahl

709:13 = keine natürliche Zahl

709:17 = keine natürliche Zahl

709:19 = keine natürliche Zahl

709:23 = keine natürliche Zahl

--> 709 ist eine Primzahl.

Ein allgemein gültiges, einheitliches Verfahren das schneller zur Lösung führt ist mir nicht bekannt. ;-)

Du musst natürlich gut Kopf rechnen können bzw. die Tricks kennen, mit denen man die Teilbarkeit einer Zahl überprüfen kann (z.B. Quersumme teilbar durch 3 etc.) ;-)

Grüße

Fang an, wie SarahLudwig es erklärt hat, nur statt dem Versuch die Wurzel zu berechnen, solltest du leiber die Quadratzahlen allgemein oder die Quadratzahlen von Primzahlen auswendig können oder schnell berechnen können. Wie man Quadratzahlen schnell im Kopf berechnen kann, kann ich dir auf eine Nachfrage auch gerne erklären.
Dann suchst du dir eine möglichst kleine Primzahl, deren Quadrat größer als die Zahl ist (du solltest vor allem die ersten Primzahlen auswendig kennen oder schnell errechnen können, sonst brauchst du immer deutlich länger)
Du siehst also 23²=529<709 aber 29²=841>709.
Du musst daher nur die Teilbarkeit bis Primzahlen unter 29 betrachten, die 29 selbst nicht.
Wenn dich interessiert, wieso das so ist, melde dich, das ist wirklich leicht zu verstehen.
Dann testest du eine Primzahl nach der anderen. Dabei helfen dir Teilbarkeitsregeln.
Die offensichtlichste Teilbarkeitsregel ist die der 2: Wenn die letzte Ziffer gerade ist, ist die Zahl durch 2 teilbar, sonst nicht.
Ähnlich für die 5, die letzte Ziffer muss eine 5 oder 0 sein, sonst ist die Zahl nicht durch 5 teilbar.
Für die 3 gilt: die Quersumme der Zahl muss durch 3 teilbar sein. Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern, also 7+0+9=16 ist nicht durch 3 teilbar => 709 ist nicht durch 3 teilbar.
Die Teilbarkeitsregel der 11 ist ähnlich, jedoch etwas schwieriger:
Du addierst jede zweite Ziffer und subtrahierst anschließend jede ausgelassene Ziffer, also 7-0+9=16. Dieses Ergebnis muss 0 oder betragsmäßig durch 11 teilbar sein, genau dann ist die Ausgangszahl durch 11 teilbar.
Zum besseren Verständnis dieser Regel noch ein paar Beispiele: Zu testen: 439 => 4-3+9=10 => 439 ist nicht durch 11 teilbar.
Zu testen: 6248 => 6-2+4-8=0 => 6248 ist durch 11 teilbar.
Zu testen: 737 => 7-3+7=11 => 737 ist durch 11 teilbar.
Wenn du ein negatives Vielfaches, also -11, -22 usw. als Ergebnis erhälst, ist die Zahl trotzdem durch 11 teilbar.
Für 7 und die anderen Primzahlen gibt es keine einfachen Teilbarkeitsregeln, die mir bekannt sind. Du kannst jedoch das Vereinfachungsverfahren anwenden:
http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/s1ar/zt/zt02.PDF
Sonst hilft echt nur gutes Kopfrechnen und, wie bei so vielen Dingen im Leben,  Übung.

Du könntest es ausprobieren, also testen, ob die Zahl durch alle niedrigeren Primzahlen teilbar ist. Alternativ geht auch die Primfaktorzerlegung

Teile die gesuchte Zahl durch alle Primzahlen, die kleiner/gleich der Wurzel der gesuchten Zahl sind. Ist bei jeder Primzahl als Teiler ein Rest vorhanden, handelt es sich bei der gesuchten Zahl um eine Primzahl.

Kannst du die Quersumme durch 3 teilen ist es KEINE Primzahl
und grade zahlen sowieso nicht und zahlen mit einer 5 hinten auch nicht