Wie häufig sind Zahlen die egal wie man ihre Ziffern umstellt immer Primzahlen sind?
Unter den zweistelligen Primzahlen gibt es vier:
(11-11) geht nicht da nur unterschiedliche Zahlen zählen
13-31
17-71
37-73
79-97
Wie viele unter allen dreistelligen und vierstelligen Zahlen sind egal wie man ihre Ziffern umstellt Primzahlen und wie häufig kommen sie in jeder n-stelligen Zahl vor, sind sie womöglich sogar häufiger verteilt als man sich so erstmal vorstellen würde?
193931 ist eine solche Zahl unter den 6-stelligen Zahlen, alle ihre Umstellungen sind Primzahlen, wie könnte man für größere Zahlen anhand der Ziffern herausfinden ob sie bei jeder Umstellung eine Primzahl ist?
1 Antwort
Also, so genau wird man das nicht beantworten können, weil noch nicht mal die Verteilung der Primzahlen an und für sich verstanden worden ist. Ich sehe auch nicht, wie die Zetafunktion (die Aufschluss über die Primzahlen geben könnte, wenn man sie im Bereich von 0 bis 1 besser verstünde) bei deiner Frage weiterhilft. Insofern kann ich mich nur herantasten:
Ausschließen können wir alle Zahlen, die eine gerade Ziffer enthalten, einschließlich der 0. Denn sonst könnte man diese Ziffer an die letzte Stelle rücken, dann wäre die ganze Zahl gerade und somit keine Primzahl mehr.
Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, dann offensichtlich auch alle ihre Umstellungen wegen der Quersummenregel. Das heißt, wenn eine Zahl eine Primzahl ist, dann sind auch alle Umstellungen nicht durch 3 teilbar.
Die Teilbarkeit durch 4 und alle weiteren geraden Zahlen können wir dadurch ausschließen, dass keine Ziffer gerade ist.
Durch 5 sind Zahlen teilbar, deren letzte Ziffer 0 oder 5 ist. Das heißt, wir können alle Primzahlen ausschließen, in denen eine 5 vorkommt (0 hatten wir bei gerade schon ausgeschlossen).
Damit ist schon mal klar, wie man auch in deinen Beispielen sieht, dass nur Primzahlen infrage kommen, deren Ziffern sich aus 1, 3, 7 und 9 zusammensetzen. Beachte, dass in der Zahl nicht nur 3er und 9er vorkommen können, sonst wäre es keine Primzahl, da durch 3 teilbar.
Ich mache mir vllt später noch mal Gedanken, dann schreibe ich einfach im Kommentar weiter.
LG