Wie funktionieren strahlensätze (mathe)?

Bildm - (Schule, Mathe)

5 Antworten

Die Dreiecke ΔZAC und ΔZBD sind einander ähnlich.

D. h., die Verhältnisse entsprechender Seiten sind gleich. (Natürlich sind auch entsprechende Winkel gleich, aber die spielen ja für die Strahlensätze keine Rolle.) Als Formel:

s(ZA) : s(ZB) = s(ZC) : s(ZD) = s(AC) : s(BD)

(mit den Bezeichnungen auf deiner Skizze: s(ZA) = a, s(ZB) = a + b usw.)

Da aus

(a+b) : (c+d) = a : c

folgt

(a+b) : (c+d) = a : c = b : d

folgen hieraus die Strahlensätze.

Um die Größen a bis f tatsächlich angeben zu können, braucht man wenigstens drei Größen - davon mindestens eine Strecke -, weil ja auch ein Dreieck durch drei Größen - davon mindestens eine Strecke - festgelegt ist.

Die große Tücke liegt in der verschiedenen Anwendung der Strahlensätze.

Beim 1. Strahlensatz müssen die Parallelen dabei sein, zählen aber nicht mit. Nur die Schenkel werden gebraucht:

a / b = c / d                        und auch        a / c = b / d
gelesen: a zu b wie c zu d

Beim 2. Strahlensatz spielen die Parallelen auch beim Verhältnis mit. Auf den Schenkeln muss immer vom Ursprung aus gerechnet werden.

a / e =  (a + b) / f              sowie           c / e = (c + d) / f

Im 2. Strahlensatz werden b und d nie allein angesprochen!

Die Strahlensätze sind logisch gesehen nur 1 Strahlensatz! Dieser beruht darauf, dass an den geschnittenen Parallelen die Scheitelwinkel ALLE gleich sind! Schau es dir an. Damit ergeben sich bei gleichliegenden Abschnitten auch gleiche Verhältnisse (Brüche), egal ob es die Strahlenabschnitte (immer vom Scheitelpunkt!) oder die Parallelabschnitte bzw. die Kombinationen sind!

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