Wie berechne ich die maximale Geschwindigkeit und wie sieht das v-t Diagramm ungefähr aus?

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3 Antworten

Zuerst müssen wir die Bewegungsgleichungen herleiten:
v(t) = a(t) * t
a = Fg / m
Gesamtkraft Fg = Fa - Fw

Hangabtriebskraft Fa:
Fa = m * g * sin 10° = 100 kg * 9,81 m/s^2 * 0,173 = 170,35 N

Widerstandskraft Fw:
Fw = k * v^2

Damit ergibt sich a(t) zu:
a(t) = (Fa - Fw) / m = Fa / m - Fw / m
= 1,7035 m/s^2 - k / m * v^2 = 1,7035 m/s^2 - 0,6 kg/m / 100 kg * v^2
a(t) = 1,7035 m/s^2 - 0,006 1/m * v^2

Wir haben also folgende Bewegungsgleichungen:
v(t) = a(t) * t
a(t) = 1,704 m/s^2 - 0,006 1/m * v^2

Nun betrachten wir a(t) mal näher. a wird immer kleiner, je größer v wird. Bei solchen Vorgängen, die irgendwann einen stationären Zustand einnehmen, spricht man beim Graphen von einer Sättigungskurve. Sättigungskurven haben immer dieselbe Form und werden dir noch oft begegnen. Hier ein typisches Beispiel:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dc/Michaelis-Menten_S%C3%A4ttigungskurve_einer_Enzymreaktion.svg

Meistens beginnen die Sättigungskurven bei P0 (0/0) steil und linear, werden dann immer flacher und nähern sich einer Asymptote.

Was man nun direkt berechnen kann, ist P0, die Steigung der Tangente in P0 sowie die Asymptote, die hier durch vmax gebildet wird. Dann hat man schon mal das Gerüst, in das die Kurve dann eingepasst werden kann.

Berechnung P0(t=0)
aus v(t) = a(t) * t folgt:
v(t=0) = a(t) * 0 = 0

Berechnung der Tangente:
Die Tangente ist bestimmt durch v/t
v / t ist = a, und aus
a(t) = 1,704 m/s^2 - 0,006 1/m * v^2
folgt:
a(0) = 1,704 m/s^2 - 0,006 1/m * 0^2
a(0) = 1,704 m/s^2

Berechnung der Asymptote = vmax:
vmax ist dann erreicht, wenn a = 0 ist. Dann ergibt sich keine weitere Beschleunigung und Geschwindigkeitszuwachs.
a(t) = 0 = 1,704 m/s^2 - 0,006 1/m * vmax^2
daraus folgt:
0,006 1/m * vmax^2 = 1,704 m/s^2
vmax^2 = 1,704 m/s^2 / 0,006 1/m = 284 m^2/s^2
vmax = 16,85 m/s

Die restlichen Werte der Kurve kann man ermitteln entweder durch Lösen einer Differentialgleichung oder einfacher mit der Methode der kleinen Schritte:
Da sich das Ganze über viele Sekunden hinziehen dürfte, nehme ich als Schrittlänge 1 s, weil sich das bequem rechnen lässt.

Ausgangswerte:
P0 (0/0)
v0 = 0
a0 = 1,704 m/s^2

1. Schritt bei t = 1:
v1 = a0 * t = 1,704 m/s
a1= 1,704 m/s^2 - 0,006 1/m * v1^2 = 1,687 m/s^2
P1(1/1,704)

2. Schritt bei t = 2
v2 = a1 * t = 1,687 m/s^2 * 2 s = 3,373 m/s
a2= 1,704 m/s^2 - 0,006 1/m * v2^2 = 1,636 m/s^2
P2(2/1,636)

usw…..
Das kann man entweder von Hand auf dem Papier in einer Tabelle durchrechnen oder in einem Tabellenkalkulationsprogramm programmieren und ausrechnen lassen.

Da vmax letztlich erst in der Unendlichkeit erreicht wird, muss man irgendwo ein Ende finden. Unendlich viele Rechenschritte auf unendlich langem Papier sind in der Praxis meistens zu zeitaufwändig. Daher kann man (beliebig) festlegen, dass man die Rechnung nur solange weiterführt, bis v = 0,9 * vmax ist.
Sobald bei v(t) = 0,9 * 16,85 m/s = 15,165 m/s rauskommt, bricht man die Rechnung ab.

Was mich bei dem ganzen verwirrt, ist die Angabe von 33 m/s. Soll das die Lösung für vmax sein? Dann hätte ich einen Rechenfehler mit dem Faktor 1/2. Falls ja, musst du den selber suchen, ich habe keine Lust zur Nachrechnung.

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TomRichter 21.01.2017, 14:17

> Das kann man entweder von Hand auf dem Papier in einer Tabelle durchrechnen oder in einem Tabellenkalkulationsprogramm programmieren und ausrechnen lassen.

Oder man denkt kurz nach und schon hat man die Maximalgeschwindigkeit. Bellefraise hat's beschrieben.

0
Hamburger02 21.01.2017, 15:21
@TomRichter

Da bringst du was durcheinander.

vmax hatte ich ja schon weiter oben ermittelt.

Die Methode der kleinen Schritte braucht man, wenn man die gesamte Kurve zeichnen möchte.

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Hamburger02 21.01.2017, 15:27

entdecke gerade einen Schreibfehler:

2. Schritt bei t = 2
v2 = a1 * t = 1,687 m/s^2 * 2 s = 3,373 m/s
a2= 1,704 m/s^2 - 0,006 1/m * v2^2 = 1,636 m/s^2
P2(2/1,636)

P2 müsste die Koordinaten (2/3,373) haben. Da muss v rein und nicht a.

0

Wie groß ist die beschleunigende Kraft am Anfang, wie groß am Ende? Wie groß ist die Beschleunigung am Anfang und am Ende?

Wenn Du den Verlauf der Beschleunigung (=Geschwindigkeitszuwachs) kennst, kannst Du den Verlauf der Geschwindigkeit abschätzen. Zumindest so gut, dass die Kurve in Deinem v-t-Diagramm in die richtige Richtung gebogen ist.

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Vlt ist es gut, dass du den Kollegen Newton aufmast. Also: Masse wird durch die Hangabtriebskomponente beschleunigt. Ohne Luftreibung geht das immer so weiter. Die Luftreibung hält nun dagegen.

Aus a = F/m wird nun a = (F_hang - F_reib) / m

d.h.: bei jedem Geschwanstieg wird die Beschleunigung ein bisserl kleiner.

Das reicht dir bestimmt, um den Geschwverlauf zu skizzieren.

Max. Geschwindigkeit: dann gibt es keinen Geschwindigkeitsanstieg mehr, also a = 0!

Wann wird in
a = (F_hang - F_reib) / m    = 0  >> Geschw ausrechnen

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