Wie berechne ich den Wachstumsfaktor und den Anfangsbestand?
Hallo zusammen,
ich hab hier folgende Aufgabe und komme irgendwie nicht auf die Lösung:
Eine Schimmelkultur wächst exponentiell. Nach 3 Tagen ist eine Fläche vom 1cm² befallen. Nach 5 Tagen schon 4 cm².
Wieviel cm² sind nach 8 Tagen bedeckt?
Grundsätzlich würde ich das mit f(x) = a * b^8 ausrechnen. Aber ich habe ja weder den Anfangsbestand noch den Faktor mit dem es wächst.
Man kann ja die beiden Gleichungen:
4 = a * b^5
1 = a* b^3 aufstellen.
Aber wie geht's dann weiter?
3 Antworten
Man kann sich ganz schnelle Lösungen im Kopf überlegen, die auf diesen Einzelfall passen. Ansonsten hast du recht, man hat zwei Gleichungen, die man aufstellen kann. (Du hast noch eine andere Art der Schreibung der Wachstumsformel mit a = Anfangswert und b = Wachstumsfaktor.) Mit deinen Bezeichungen gilt
I a b³ = 1
II a b⁵ = 4
Das ist ein GS mit 2 Unbekannten, aber kein LGS. Additionsverfahren geht daher nicht. Aber ich kann II durch I dividieren.
Ergebnis: b⁵/b³ = 4 | 2. Potenzgesetz
b² = 4 | √
b = 2 also Wachstumsfaktor 2
Eingesetzt in I:
a * 8 = 1 | /8
a = 1/8 Anfangsmenge 1/8
Deine spezifische Wachstumfsformel:
f(x) = 1/8 *2ⁿ
Für n = 8 ist f(8) = 1/8 * 2⁸
f(8) = 32
Nach 8 Tagen sind 32 cm² bedeckt.
Ich würde die beiden Gleichungen mal durcheinander dividieren, dann hast du 4=b^2, und bist fast fertig.
Nach 3 Tagen hast du 1cm².
Nach 5 Tagen hast du 4cm².
Dazwischen liegen 2 Tage und der Bestand hat sich vervierfacht.
D.h. der Wachstumsfaktor für 2 Tage ist 4, und für einen Tag ist er 4/2 = 2.
f(x) = 1cm² * 2^8
Ich hoffe, ich laber nichts falsches, ist schon länger her :-)