wenn eine polynomfunktion 3. grades keine extremstellen bestitzt hat sie einen sattelpunkt (danke für eure antworten vorhin) nur mein problem steht unten?
ist es nicht so dass eine funktion x hoch n nur n - 2 wendestellen haben kann ? und so viel ich weiß zählt ein sattelpunkt als 2 wendestellen
2 Antworten
Verständige Herren gibt es auch im Internet ( nie jedoch unter Hochschullehrern )
Ein Sattel ist eine MINDESTENS zweidimensionale Fläche, die in einer Richtung ein Maximum, in einer anderen jedoch ein Minimum besitzt. Damit ist ein Sattelpunkt ( SP ) immer ein VERALLGEMEINERTES EXTREMUM .
Wovon du hier schwafelst, ist ein ===> Terrassenpunkt ( TP ) TP gibt es in allen Dimensionen; ein TP ist ein WP mit horizontaler Wendetangente.
Ich will dich ja nicht dumm sterben lassen; diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie.
Mit NOTWENDIGKEIT besitzen sie GENAU einen WP und verlaufen PUNKT SYMMETRISCH gegen den selben. "
Aus dieser Spiegelsymmetrie folgt eine wichtige Mittelwertbeziehung
( x | y ) ( w ) = 1/2 [ ( x | y ) ( max ) + ( x | y ) ( min ) ] ( 1 )
Du hast drei kritische Punkte; Minimum, Maximum und WP . Kennst du zwei, hast du automatisch den dritten.
Mir begegnet immer wieder eine Aufgabe mit konkreten Koeffizienten
" Beweisen Sie, dass bei DIESEM SPEZIELLEN POLYNOM Minimum, Maximum und WP auf einer Geraden liegen. "
Wenn ich dann ( unter Hinweis auf ( 1 ) ) bemerke, dass dies bei allen kubischen Polynomen der Fall ist, kommt Regel mäßig der Kommentar
" Das mag wohl sein. der Lehrer verrlangt aber nicht, dass ich das weiß ... "
Richtig ist, dass die erste Ableitung keine reellen Nullstellen zu haben braucht ===> keine Extrema.
Und was passiert in dem Grenzfall einer Doppelwurzel der ersten Ableitung? auch hier folgt aus der Symmetrie, dass diese Doppelwurzel mit dem WP zusammen fällt ===> TP
<< So viel ich weiß, zählt ein TP als zwei WP. "
Nein. Folgende Merkregel wieder für FRS .
" Eine gerade Nullstelle wie z.B. x ^ 4 712 ist immer ein Extremum ( wobei in üblicher Weise das Vorzeichen der ersten von Null verschiedenen Ableitung entscheidet, ob Max oder Min. )
Eine ( mehrfache ) ungerade Nullstelle wie z.B. x ^ 4 711 ist immer ein TP. "
Ich sage immer; es gibt nur diese HINREICHENDE , keine notwendige Bedingung.
ein Sattelpunkt zähl als 2 Wendestellen?? das hab ich noch nie gehört.
Für Sattelpunkt gilt:
f ' = 0
f " = 0
f '" ungleich 0
Bsp
f(x) = x³
keine Extrema aber einen Sattelpunkt bei (0;0)
Deine Frage hab ich mir nochmal durchgelesen; das klein Gedruckte. Sicher hast du Recht, dass ein Polynom n-ten Grades nicht mehr als ( n - 2 ) WP haben kann. Nun ist die 2. Ableitung eines Polynoms 3. Grades notwendig vom ersten Grade; und eine linearew Gleichung hat GENAU eine Nullstelle; in diesem Ausnahmefall ist also die EXISTENZ des WP GARANTIERT .
Dazu kommt: Ein Polynom vom Grade > 3 weist in der Regel keine Spiegelsymmetrie auf; wenn aber, so bei geraden Polynomen nur Axhsen-und bei ungeraden nur Punktsymmetrie.
Lediglich bei 3. Grade ließ ich dich meines Geheimwissens teilhaftig werden,. dass die IMMER ungerade Symmetrie besitzen.