Welche Bedeutung hat Epsilon hier?

Der ganze Rest ist mir klar und logisch, aber was bedeutet hier "zu jedem e>0 gibt es ein NeN"? Bedeutet das einfach dass Epsilon eine natürliche Zahl größer als 0 ist?

Answer 1

[DerRoll]

Nein, Epsilon ist keine natürliche Zahl, sondern eine reelle. Mein damaliger Mathelehrer sagte immer "Stellt euch das Epsilon seeeeehr sehr klein vor. Und jetzt noch ein wenig kleiner". Epsilon ist vorgegeben und darf in der Grenzwertberechnung nicht mehr verändert werden. N hängt von Epsilon ab.

Beispiel:

$Zu\ zeigen\ ist:\ \lim_{n\to\infty}\ \frac{1}{n}\ =\ 0,\ also\ \forall\epsilon\ >\ 0\ \exists N\ \in\mathbb{N}\ so\ dass\ \frac{1}{n}\ <\ 0\ \forall n\ >\ N$ $Sei\ \epsilon>\ 0\ gegeben.\ Wähle\ nun\ N_{\epsilon}\ =\ \left[\frac{1}{\epsilon}\right]\ +\ 1$ (hier ist [x] eine https://de.wikipedia.org/wiki/Abrundungsfunktion_und_Aufrundungsfunktion deren Symbol ich leider im LaTeX Editor nicht kenne). Und nun kann man leicht abschätzen, dass für jedes n > N_epsilon gilt dass |1/n| < Epsilon. Der Beweis wird dem Leser zur Übung überlassen :-).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Answer 2

[Jangler13]

Epsion ist eine positive reelle Zahl, die beliebig klein ist

Damit sorgst du, dass die Reihe beliebig nah an den Grenzwert geht

(Denn für jedes Epsilon Lässt sich eine Zahl N wählen, sodass die Differenz des Folgenwertesbund dem Grenzwert betragsweise kleiner Epsilon ist für alle n größer N

Besser gesagt x_n liegt in einer Epsilon Umgebung um den Grenzwert)

Comments

[stabschrecke]

Uff. Und ich wollte eigentlich im Oktober mein Studium beginnen. Ich glaub das lass ich lieber.

Aber danke für die Antwort, hab's jetzt verstanden.

[DerRoll]

@stabschrecke

Ne ne, trau dich nur. Wenn du das verstanden hast, hast du die wichtigste Hürde genommen. Ich zitiere aus Heuser: Analysis 1:

Es wäre töricht zu verschweigen, dass man diese Definition auswendig lernen muß wie ein Gedicht

Answer 3

[Florabest]

Epsilon immer eine reelle Zahl. Der Witz ist, dass Epsilon beliebig klein sein kann, also die Folge xn beliebig nahe an a ranrückt.