Was ist das Rotationsvolumen von e^-x?

Kann mir jemand bei der Aufgabe 16 helfen?

Answer 1

[CarolusGauss]

Servus,

Rotationskörpervolumen um die x-Achse:

$V=\pi\cdot\int_a^{^b}\left(f\left(x\right)\right)^2\ dx$ $f\left(x\right)=e^{-x}$

Da es im 1. Quadranten liegt, sind die Integrationsgrenzen von Null bis Unendlich:

$V=\pi\cdot\int_0^{^{\infty}}\left(e^{-x}\right)^2\ dx=\pi\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}$

Das Volumen ist also pi/2 Volumeneinheiten groß.

Beste Grüße,

C.F. Gauss - princeps mathematicorum.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Universität Helmstedt, TU Braunschweig, GAU Göttingen

Comments

[irisstroppel]

Super, Danke viel Mals für die schnelle und hilfreiche Antwort!

Answer 2

[fjf100]

Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse

V=pi*Integral(y²*dx)

y=f(x)=e^(-1*x)

y²=(e^(-1*x))²=e^(-1*x)*e^(-1*x)=e^(-1*x+(-1*x))=e^(-1*x-1*x)=e^(-2*x)

siehe Mathe-Formelbuch Potenzgesetz a^r*a^s=a^(r+s)

V(x)=pi*Integral (e^(-2*x)*dx

Integration durch Substitution (ersetzen) F(x)=Integral(f(z)*dz*1/z´)

Substitution z=-2*x abgeleitet z´=dz/dx=-2 ergibt dx=dz/-2 und f(z)=e^(z)

V(x)=pi*Integral(e^(z)*dz*1/(-2)

V(x)=-1/2*pi*e^(-2*x)+C

Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Comments

[irisstroppel]

Vielen Dank!

[fjf100]

@irisstroppel

Hab mal eine Proberechnumg mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) gemacht

f(x)=e^(-2*x) im Interval xu=0 und xo=2 ergibt A=0,4908 FE

damit V=pi*0,4908=1,5418 VE (Volumeneinheiten)

V(0)=0=-1/2*pi*e^(-2*0)+C=-1/2*pi*1+C

C=1/2*pi

V(x)=-1/2*pi*e^(-2*x)+pi/2

V(2)=-1/2*pi*e^(-2*2)+pi/2=1,542 VE

Formel stimmt also