Was ist das Ergebnis dieser Aufgabe?
Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse 6 cm erzeugt bei Rotation um einer Kathete (um die Hypotenuse) den Rotationskörper größten Volumens.
1 Antwort
Hallo,
seien die Endpunkte der Hypotenuse des gesuchten rechtwinkligen Dreiecks A und B und der Scheitel des rechten Winkels C. Dann liegt C auf jeden Fall auf einem Halbkreis über der Hypotenuse (Thaleskreis)
Der Rotationskörper - ein Doppelkegel - wird dann das größte Volumen haben, wenn das zugrundeliegende Dreieck die größte Fläche besitzt.
Dies ist aber, da die Dreiecksfläche nach der Formel halbe Grundseite mal Höhe berechnet wird, im Thaleskreis die Fläche mit der größtmöglichen Höhe, die Grundseite bleibt ja immer gleich. Die größte Höhe hast Du aber in der Mitte, sie ist gleich der halben Grundseite oder dem Radius des Thaleskreises, hier also gleich 3 cm.
Somit hat der Doppelkegel einen Radius von 3 cm und ein Volumen von
(1/3)Pi*r²*h*2=(1/3)*Pi*3² cm²*3 cm*2=18 Pi cm³.
Du kannst es natürlich auch über eine Extremwertaufgabe lösen:
f(r;h;x;y)=2*(1/3)Pi*r²*(h mit den Nebenbedingungen h1+h2=6
und - wenn die beiden Katheten als x und y bezeichnet werden -
x²+y²=6²
Der Radius des Kegels ist dann einerseits die Wurzel aus (x²-h1²), andererseits die Wurzel aus (y²-h2²), was eine Skizze verdeutlichen kann.
Herzliche Grüße,
Willy
