Was genau sagt das Skalarprodukt aus?
7 Antworten
Es ordnet allgemein zwei Vektoren a, b aus einem Vektorraum eine skalare Zahl <a, b> zu, sodaß gewisse Regeln eingehalten werden. Nachzulesen unter
https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#In_allgemeinen_reellen_und_komplexen_Vektorr%C3%A4umen
Im euklidischen Raum verwendet man oft das Standardskalarprodukt. Dieses ist Null, wenn a und b zueinander senkrecht stehen und maximal positiv, wenn a und b gleichsinnig gerichtet sind.
Allgemein ist dann:
Das Skalarprodukt ist das Produkt aus 2 Vektoren und das Ergebnis ist dann eine Zahl (Skalar)
Beispiel: Arbeit=Kraft F mal längs des Weges s
F ist der Kraftvektor
s ist der Wegvektor
zu jeden Zeitpunkt müssen beide Vektoren parallel liegen,sonst gilt die Formel nicht.
Steht nun der Kraftvektor F senkrecht auf den Wegvektor s ,so ist die Arbeit W=0
stehen 2 Vektoren a(ax/ay/az) und b(bx/by/bz) senkrecht aufeinander,so ist das Skalarprodukt gleich Null
a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt einen skalare Größe und ist definiert durch: Dabei ist a der Winkel zwischen den beiden Vektoren und . Ein Beispiel dafür ist: Wie man sieht ist das Ergebnis eine Zahl (22), kein Vektor.
Das die Multiplikation zweier Vektoren ein Skalar (= reelle Zahl) ist. Zum Beispiel bei zwei zueinander orthogonalen Vektoren sagt das Skalarprodukt aus, dass das Skalar gleich Null sein muss.
Das liegt daran, dass der cos(pi/2) bzw. cos(90°) = 0 ist
Jetzt weiß der Fragesteller aber überhaupt nicht(vorallem nicht anschaulich was das sp ist).
Für den Fall dass du das auch nicht weißt das skalarprodukt kann als Projektion des einen auf den anderen vektor gesehen werden, was auch sofort erklärt warum es bei orthogonalen Vektoren 0 ist
Projektion des einen vektors auf den anderen deswegen ist es 0 wenn sie senkrecht zueinander stehen und das betragsquadrat wenn du einen vektor mit dich selbst multiplizierst
Wenig anschaulich und eher eine Umformulierung des Begriffes. Interessant wäre zu wissen warum das sp bei orthogonalen Vektoren 0 ist