Wahrscheinlichkeit bei Baumdiagrammen?
ei einem Tennisturnier wird über drei Gewinnsätze gespielt. Bei einem Spiel gewinnt derjenige Spieler, der zuerst drei Sätze gewinnt.
a) Beim Endspiel der Herren kann man davon ausgehen, dass der Favorit jeden Satz mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % gewinnt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der vermeintlich schwächere Spieler beim Endspiel siegt?
b) Beim Herren-Doppel treffen im Finale zwei gleichstarke Teams aufeinander. Beim Stand von 2 : 1 muss die Partie abgebrochen werden und kann wegen schlechten Wetters nicht beendet werden. Wie soll die Siegprämie von 200 000 € aufgeteilt werden? Begründe deine Entscheidung, indem du die Gewinnwahrscheinlichkeiten betrachtest
Kann mir wer helfen?
1 Antwort
Hallo diecooleperson1,
das ist auf jeden Fall eine Aufgabe, bei der man etwas nachdenken muss, weil die Anzahl der Sätze von den Ergebnissen der bereits gespielten Sätze abhängt. Dadurch hat dieser Entscheidungsbaum, dessen Enden aufsummiert natürlich 100%, also 1 ergeben müssen, unterschiedlich lange Pfade.
Entlang eines einzelnen Pfades multiplizieren sich die Wahrscheinlichkeiten natürlich auf, wie man sich an möglichst einfachen Beispielen plausibel machen kann: Du würfelst zwei mal hintereinander. Wie wahrscheinlich ist es,
- keine 6 zu werfen,
- eine 6 zu werfen,
- zwei 6en zu werfen?
Keine 6 heißt: beim ersten Mal was anderes und beim zweiten Mal was anderes, also (⅚)² = ²⁵⁄36.
Eine 6 heißt: erst eine 6, dann was anderes oder erst was anderes, dann eine 6. Das sind zwei Zweige: ⅙∙⅚ + ⅚∙⅙ = 2∙5⁄36 = ¹⁰⁄36.
Zwei 6en heißt ⅙∙⅙ = 1⁄36.
Zu a):Der Favorit (F) hat eine a-priori- Wahrscheinlichkeit von 0,6, der Außenseiter (A) dementsprechend von 0,4, einen Satz zu gewinnen. Am einfachsten ist es, zu berechnen, wie wahrscheinlich ein "Durchmarsch" in 3 hintereinander gewonnenen Sätzen ist, weil das die kürzesten Pfade sind:
F: 0,6³ = 0,216
A: 0,4³ = 0,064
Es gibt also mit der Wahrscheinlichkeit von 0,28 (28%) nur 3 Sätze, mit 72% 4 oder mehr.
F gewinnt auch, wenn er z.B. abwechselnd gewinnt und verliert, falls er zuerst gewinnt (FAFAF). Die Wahrscheinlichkeit dafür ist mit 0,6∙0,4∙0,6∙0,4∙0,6 = 0,6³∙0,4² = 0,03456 erstaunlich klein im Vergleich zum Durchmarsch, aber es gibt noch andere Möglichkeiten mit dieser Wahrscheinlichkeit, etwa FFAAF oder FAAFF und weitere wie AFFAF, die sich alle aufaddieren.
Zu b):Wichtig ist hier, dass Entscheidungen, die bereits gefallen sind, immer die Wahrscheinlichkeit 1 haben. Man fängt nicht "ganz oben" an, sondern da, wo man gerade ist.
Die Wahrscheinlichkeit, zwei Sechsen hintereinander zu werfen, ist also 1⁄36, aber die Wahrscheinlichkeit, nach einer 6 eine zweite zu werfen, ist ⅙, auch wenn man intuitiv denkt, sie müsste eigentlich kleiner sein.
Es gibt natürlich noch viel mehr Möglichkeiten, z.B. die mit 4 Sätzen, die F gewinnt: FFAF, FAFF, AFFF. Und dann gibt es die Möglichkeiten, dass A in 4 Sätzen gewinnt, wie AAFA, AFAA und FAAA.
Die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Kombinationen müssen in Summa 1 ergeben.
Hey! Vielen lieben Dank! Ich habe bei a) ungefähr das Ähnliche gedacht. Muss da aber nicht noch mehr hin?