Vielfachheit Nullstellen
Hallo, an gf.net: bitte nicht löschen, ich möchte lediglich nur wissen, wie man bei solchen Aufgaben vorgeht; keine Lösung möchte ich haben. Die werde ich selber bekommen.
Im Internet bereits danach erfolgreich gesucht, aber ich verstehe es nicht so ganz wirklich.
Vor allem bei der Aufgabenstellung: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f mit ihren Vielfachheiten und den y-Achsenabschnitt. Charakterisieren Sie die Art der Nullstellen.
Der Unterschied zwischen "...mit ihren Vielfachheiten..." und "Charakterisieren Sie die Art der Nullstellen." ist mir nicht so ganz klar.
Folgende Vielfachheiten sind mir bekannt: (Das passt ja zu "...mit ihren Vielfachheiten...", oder?) Einfache Nullstellen (eine x Stelle wird geschnitten; Schnittpunkt) hoch 1 Doppelte Nullstellen (x Stelle wird berührt; Extrempunkt) hoch 2 Dreifache Nullstellen (Sattelpunkt) hoch 3
Könnte jemand bitte mir Schritt für Schritt zeigen, wie ich solche Aufgaben, wie unten angegeben, löse? Nicht die gleichen Aufgaben, können auch Andere sein; lediglich den Weg möchte ich gern wissen.
a) f(x)=x^2(x+2) und b) f(x)=-(x+1)(x-2)^2
Ich hoffe jemand nimmt sich Zeit und erklärt mir mehr oder weniger wie vorzugehen ist...
Mehr als ein Danke und Hilfreichste Antwort zu vergeben, kann ich im Moment nicht...
Danke im Voraus
6 Antworten
a) hat einfach die nullstellen, wenn du für x^2 und x+2 einzeln die nullstellen raussuchst (sind drei)
b) hier sind es vier nullstellen
einmal für -(x+1) bzw dann ja -x-1 und bei (x-2)²
letzteres einfach die klammer auflösen und pq formel
art der nullstellen sind dann einfach ob doppelt oder einzeln oder sogar dreifach,....
Die "Vielfachheit" der Nullstellen hängt so wie wir es gelernt haben von den Ableitungen ab, das bedeutet
bei einer einfachen Nullstelle muss nur die funktion selbst an der stelle x 0 sein bei einer doppelten Nullstelle muss die funktion und die erste Ableitung an der Stelle x 0 sein bei einer dreifachen Nullstelle muss die funktion, die erste und die zweite ableitung an der Stelle x 0 sein
bedeutet du musst deine Nullstelle jeweils für x in die nächste Ableitung ein setzen wenn die Null ergibt machst du wieder mit der Nächsten weiter bis es irgendwann nciht mehr null wird
naja prinzipiell ist es so:
x²*(x+2)=x³+2x²
der einfachheit halber klammert man aber immer möglichst viel aus, da es schwierig ist von einer gleichung dritter ordnung (da 3 bei x³ die größte exponent ist)
(hier kann man halt das x² ausklammern, wo wir wieder beim anfang wären)
du kannst aber auch zum beispiel einfach x ausklammern, dann stände da statt x³+2x²
x*(x²+2x)
das kannst du halten wie ein dachdecker (also es ist egal wie du es machst)
ich mach einfach mit der anfangsgleichung weiter
wir haben da also stehen x²*(x+2)
die die beiden faktoren (x und (x+2)) miteinander multipliziert werden kann man einfach jeden der beiden faktoren einzeln auf nullstellen überprüfen (da das multiplizieren nichts an den nullstellen ändert)
nehmen wir erstmal x² (man weiß ja eigentlich schon, dass x² eine doppelte nullstelle bei x=0 hat)
also x² mit null gleichsetzen, da ja die nullstelle sagt, dass dort der wert von y 0 ist
x²=0 | wurzel
x1=(plus)0; x2=(minus)0
jetzt x+2
das setzt man auch mit null gleich und dann nach x auflösen
x+2=0 |-2 x3=-2
auf x1 x2 und x3 wirst du auch kommen, wenn du es mit x*(x²+2x) machst
Ich versuche mal, einfach für klare Begriffe zu sorgen... und muss dafür ein klein wenig ausholen.
Ein Polynom 0<n-ten Grades p hat immer genau n komlexe Nullstellen.
Diese können reell sein oder auch nicht. Daher hat p bis zu n reelle Nullstellen.
. . .
Mithilfe der Nullstellen lässt sich p bis auf den Leitkoeffizienten (hier: Variable a) immer in ein Produkt aus genau n Linearfaktoren zerlegen. Beispielsweise hat jedes Polynom dritter Ordnung die Form
a ( x- x1) (x - x2) (x - x3),
wobei x1, x2, x3 die Nullstellen sind (die, wie gesagt, nicht reell sein müssen).
. . .
Die Nullstellen müsse auch nicht paarweise verschieden sein, als auch die Linearfaktoren nicht. Genau dann, wenn der gleiche Faktor nicht nur einmal, sondern k-mal vorkommt, hat das Polynom definitionsgemäß eine k-fache Nullstelle. - Beispiel: Das Polynom
a (x - x1)² (x - x2) * x^5 + (x - x4)³
ist elfter Ordnung und hat
- die doppelte Nullstelle x1,
- die einfache Nullstelle x2,
- die fünffache Nullstelle x3 = 0 und
- die dreifache Nullstelle x4.
Die Vielfachheit einer Nullstelle ist daher direkt aus der faktorisierten Form eines Polnnoms abzulesen, so auch in deiner Aufgabe. Du brauchst dazu keine Kurvendiskussion.
Dass mehrfache Nullstellen eines Polnyoms auch bestimmte Eigenschaften der jeweiligen Nullstelle bedeuten, ist auch richtig (und mit "Charakterisierung" der Nullstelle als Extremum oder Terrassenpunkt gemeint). Diese Eigenschaften haben aber begrifflich mit der Vielfachheit erst einmal nichts zu tun.
Also zu Aufgabe a)
f(x) = x² · (x+2) = (x-0)² · (x+2)
Der Funktionsterm besteht aus drei Faktoren, wobei die ersten beiden Faktoren identisch sind.
Also liegt bei x=0 eine doppelte Nullstelle vor, bei x = -2 "nur" eine einfache.
Das ist (nach Aufgabenstellung) die Bestimmung der Nullstellen mit ihren Vielfachheiten.
Bei der Charakterisierung musst Du sozusagen interpretieren, welchen Einfluss das auf den Verlauf des Graphen hat (so meine Vermutung). Das hast Du in Deiner Frage bereits alles gemacht (schneiden der x-Achse, Extrempunkt...).
Im Grunde hast Du also alles gemacht, was die Aufgabenstellung verlangt hat. GUT!
Funktion ist in Linearfaktoren (x-x0) (x0 Nullstellen) zerlegt.
a) x² keine Verschiebung, also Doppelnullstelle im Ursprung und eine bei x=-2
b) (x-2)² Doppelnullstelle bei x =2 und -(x+1) deute ich als negierte Nullstelle x=-1, also die Nullstelle bei x =1
x = 1 ist keine Nullstelle Der Vorfaktor (-1) ändert an der Nullstelle x = -1 nichts. Denn -1·0 bleibt 0. Das lässt sich durch Einsetzen auch leicht überprüfen.
und -(x+1) deute ich als negierte Nullstelle x=-1,
Nicht "deuten", sondern Gleichungen lösen.
-(x+1) = 0 | *(-1)
x+1 = 0
x = -1
Mathematik ist nicht Gedichtinterpretation.
Zur Charakterisierung einer vielfachen reellen Nullstelle einer ganzrationalen Funktion lässt sich sogar Folgendes sagen:
Jede Nullstelle von ungeradzahlige Vielfachheit > 1 ist ein Sattelpunkt
Jede Nullstelle von geradzahliger Vielfachheit > 0 ist ein Extremum.
Beweis mit verschränkter vollständiger Induktion (die vom Extremum auf den Sattelpunkt einerseits, vom Sattelpunkt auf das Extremum andererseits schließt). Kann bei Bedarf beigebracht werden.
Okay ehm... warum bei a) drei Nullstellen und bei b) vier Nullstellen? Wie kann ich sie einzeln aussuchen?
Tut mir leid, aber ich stehe gerade auf dem Schlauch...