Verschachtelte Betragsgleichungen? Einfacher Lösungsweg?
Mich interessiert der Lösungsweg. Ich verstehe, dass man normalerweise eine Fallunterscheidung machen muss, dafür, dass der Betrag <0 oder >= 0 ist.
Aber was ist mit zB ||x+4|+4|=1 ?
Habe ich dann auch vier Fälle, wie zB bei zwei Beträgen in einer Gleichung.
1.) Innerer Betrag >= 0, äußerer >= 0.
2.) Innerer Betrag >= 0, äußerer < 0.
3.) Innerer Betrag < 0, äußerer >= 0.
4.) Innerer Betrag < 0, äußerer < 0.
Ich bin da noch ganz am Anfang...
2 Antworten
|x + 4| ist nicht-negativ, also ist |x + 4| + 4 positiv, weshalb ||x + 4| + 4| = |x + 4| + 4.
Anderes Beispiel:
||x + 1| + x| = 1
Überlege, wann |x + 1| + x negativ ist:
|x + 1| + x < 0
Hieraus ergeben sich folgende Fälle:
(1) x + 1 >= 0, also x >= -1, so dass x + 1 + x < 0, demnach x < -1/2
(2) x < -1, so dass -(x + 1) + x < 0 (Wiederspruch!)
Für Fall 1 versuchst du eine Lösung zu finden: -(x + 1 + x) = 1, also x = -1.
Überlege nun, wann |x + 1| + x nicht-negativ ist:
|x + 1| + x >=0
Es ergeben sich diese Fälle:
(3) x >= -1, so dass x + 1 + x >= 0, also x >= -1/2
(4) x < -1, so dass -(x + 1) + x >= 0 (Widerspruch)
Finde eine Lösung für Fall 3: x + 1 + x = 1, eine weitere Lösung muss also x = 0 sein.
Also im Grunde so, wie du es vorgeschlagen hast.
Aber beim 3. Fall habe ich nach diesem Schema gerechnet folgendes:
|x + 4| < 0 ergibt x > -4
| -(x + 4) + 4| >= 0 ergibt x <= 0
Aus den oberen Ergebnissen ergibt sich die Bedingung: -4 < x <= 0
Überprüfen: -(x + 4) + 4 = 1 ergibt x = -1 (erfüllt die Bedingung)
*** was ja falsch sein soll, da die Gesamtlösungsmenge leer ist ***
|f(x)|<0 hat nie eine Lösung.
Du kannst nicht von
|x+4|<0 auf x>-4 schließen, es ist unmöglich dass irgendein Betrag unter 0 liegt.
Statt die Gleichung in 4 Fälle zu unterteilen, solltest du dir erst mal Gedanken machen, welche dieser Fälle unter welchen Umständen möglich sind.
Du hast die Vergleichszeichen jeweils am Ende vertauscht: (4. Fall:) x + 4 < 0 ⇔ x < -4 und -(x + 4) + 4 < 0 ⇔ 0 < x. Das ergibt offensichtlich einen Widerspruch (denn natürlich kann |x + 4| + 4 nicht negativ sein!).
(3. Fall:) x + 4 < 0 ⇔ x < -4
-(x + 4) + 4 >= 0 ⇔ 0 >= x
Es muss also x < -4 gelten (da x < -4 sowohl x < -4 als auch x <= 0 erfüllt). Damit liegt deine Lösung x = -1 nicht im notwendigen Intervall.
Der äußere Betrag muss eh positiv sein, die Gleichung hat keine Lösung.
|x+4|>=4 (=y)
|y+4|>=8 (=z)
z=1>=8 ist unmöglich
Der Fall könnte komplexer sein, wenn zb x in dem äußeren Betrag nochmal vorkommt.
Aber wäre mein Rechenweg so richtig, oder wie gehst du vor? Also ich meine, ich würde die Bedingungen, die für x pro Fall gelten dürfen bestimmen und dann die die Beträge jeweils wie im jeweilige Punkt festgelegt auflösen (entweder einfach ohne Betragsstriche schreiben oder klammern und ein Minus davor)..
Ich sehe schon, dass ihr da sehr kreativ damit umgehen könnt und mathematisch denkt. Mir fällt das aber sehr oft schwer... Ich mache da irgend etwas falsch.
Ich habe zB bei meine 4. Fall (wenn beide x negativ werden) sowas gemacht:
|x + 4| < 0 ergibt x > -4
| -(x + 4) + 4| < 0 ergibt x < 0
Aus den oberen Ergebnissen ergibt sich die Bedingung: -4 < x < 0
Überprüfen: -( -(x + 4) + 4) = 1 ergibt x = 1 (erfüllt die Bedingung nicht)
Das ist nur ein exemplarischer Fall, bei dem ich mir wirklich unsicher bin, ob ich die Methode richtig anwende...