Unterschied zwischen Polstelle 1. und 2. Grades?

... komplette Frage anzeigen

2 Antworten

Einfachste Beispiele:  Die Funktion f mit  f(x) = 1/x  hat an der Stelle x = 0  einen Pol ersten Grades bzw. erster Ordnung. Die Funktion g mit  g(x) = 1/x^2  hat an der Stelle x = 0 einen Pol zweiter Ordnung.  Graphischer Unterschied: Bei Polen ungerader Ordnung gibt es einen Vorzeichenwechsel (quasi einen "Sprung von + ∞  nach - ∞ " oder umgekehrt). Bei einem Pol gerader Ordnung gibt es keinen Vorzeichenwechsel.  

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Ich ergänze und verallgemeinere die Anwort von rumar:

Es geht darum, wie oft der entsprechende Linearfaktor im Nenner eines Funktionsterm vorkommt. Beispiel:

           x^4 - x³ - 3x² + x + 2
f(x) = ----------------------------------
        x^5 - 7x³ + 2x² + 12x - 8

Zerlegt man Zähler und Nenner in Linearfaktoren, erhält man:

          (x-1)(x+1)²(x-2)
f(x) = ------------------------
        (x-1)²(x+2)²(x-2)

An diesem Term kann man gut die Definitionslücken ablesen: -2; 1, 2.

Kürzen des Funktionsterms ergibt:

           (x+1)²
f(x) = --------------
        (x-1)(x+2)²

Der Faktor (x-1) kommt im Nenner 1 mal vor, der Faktor (x+2) doppelt; damit hat f bei x=1 einen Pol 1. Grades, bei x=-2 einen Pol zweiten Grades.

Bei Polen ungeraden Grades hast Du dann einen VZW, hat ein Pol einen geraden Grad, liegt kein VZW vor.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?