Transzendente Funktion?

Hallo zusammen,

hier kommt schon die nächste Aufgabe. Bei Bedarf kann ich sie gerne auf deutsch übersetzen:

"Under certain conditions the work done by a gas in an expansion from a pressure P1 to a pressure P2 is given by

$W\ =k\ln\left(\frac{P1}{P2}\right)$ where k is a constant depending on the gas.

If P2 varies with time at the rate of 0,01 atm/min, find the rate (in joules/min) at wich the work changes when P2 = 3 atm, if k =2400 joule/mole-deg. and P1 = 2 atm"

Muss ich nicht

$\frac{dW}{dt}\ =\frac{dW}{dP2}.\frac{dP2}{dt}$ machen?

Danke für eure Kommentare.

Answer 1

[usmi49]

hallo zusammen,

habe die Antwort gefunden, für die, die es ev. interessiert.

$\frac{dW}{dt}\ =\frac{dW}{dP2}.\frac{dP2}{dt}$ ist richtig, und zwar so:

$dW\ =\left(\ k\ln P_{1\ \ }-\ \ k\ln P_2\right)'\ \ \ =\ \frac{d\left(k\ln P_1\right)}{P_2}\ -\ \frac{d\left(k\ln P_2\right)}{P_2}\ \ =\ \ 0\ \ -\ k\frac{d\left(\ln P_2\right)}{P_2}\ \ =\ -k\frac{1}{P_2}.1\ \ \ =\ -\frac{k}{P_2}$

Beim Einsetzen der in der Aufgabe angegebenen Werte ergibt sich

$\frac{dW}{dt}\ =\frac{dW}{dP2}.\frac{dP2}{dt}$

=

$-\frac{\frac{2400joules}{mole-\deg.}}{3\ Atm.}.\ 0,01\ \frac{Atm.}{Min}\ =\ -\frac{8Joules}{Min.}$

Und das ist das Ergebnis im Mathe Buch!

Woher ich das weiß: Recherche

Answer 2

[Rammstein53]

Die Arbeit W ergibt sich zunächst aus einer Volumenänderung ΔV. Die Arbeit fällt umso größer aus, je größer die Volumenänderung ΔV = V2 - V1 ist.

Da der Druck nicht konstant ist, muss die verrichtete Arbeit mit einem Integral berechnet werden:

$W\ =\int\ p\ \cdot\ dV$

mit den Integralgrenzen V1 bis V2 . Das Vorzeichen des Integrals hängt davon ab, ob Arbeit an dem Gas verrichtet wird, oder das Gas Arbeit verrichtet. Aus der universellen Gasgleichung p*V= n*R*T ergibt sich für den Druck p = n*R*T/V und damit

$W\ =\ n\cdot R\cdot T\ \cdot\int\ \frac{dV}{V}=\ n\cdot R\cdot T\cdot\ln\left(\frac{V2}{V1}\right)\ =\ k\ \cdot\ \ln\left(\frac{V2}{V1}\right)$

Das sich der Druck p und das Volumen V umgekehrt proportional verhalten, folgt:

$W\ =\ k\ \cdot\ \ln\left(\frac{p1}{p2}\right)$

Die angegebene Formel ist also bereits das Ergebnis eines Integrals und hat nichts mit einer Ableitung nach t zu tun. Man muss einfach nur die vorgegebenen Werte (Intervallgrenzen) einsetzen.

Comments

[usmi49]

Hallo Rammstein53,

etwas stimmt nicht! In meinem Buch bin ich beim Kapitel "differentiation of transcendental functions" ( Ableitung transzendenter Funktionen). Am Ende dieses Kapitels ist diese Aufgabe eine der 50 Aufgaben, die als Anwendungsbeispiele von Ableitungen transzendenter Funktionen aufgeführt sind. Am Ende des Buchs sind die Lösungen der Aufgaben, ohne Herleitung angegeben und als Lösung für obige Aufgabe steht: - 8 joules/Minute.