Textaufgabe in Mathe nicht verstanden?
Schreibe morgen eine Arbeit und brauche Hilfe. Dabei geht es um ||||Aufgabe 3 b,c|||||
Könnte mir einer sagen wie man das ausrechnet?
Danke im Vorraus
2 Antworten
Hallo,
um zu erfahren, wann die Funktion einen Extremwert annimmt, mußt Du die erste Ableitung auf 0 setzen.
k(x)=250x*e^(-0,5x)+20
k'(x)=250*e^(-0,5x)-250*0,5x*e^(-0,5x) (Anwendung von Produkt- und Kettenregel).
Ausklammern von 250*e^(-0,5x):
k'(x)=250*e^(-0,5x)*(1-0,5x)
Da der Faktor 250*e^(-0,5x) niemals Null werden kann, muß der zweite Faktor (1-0,5x) Null werden, damit die Ableitung Null wird.
1-0,5x=0
0,5x=1
x=2
Bei x=2 nimmt die Funktion also einen Extremwert an.
Welcher Art dieser Extremwert ist, siehst Du, wenn Du x=2 in die zweite Ableitung k''(x)=-125*e^(-0,5x)*(2-0,5x).
k''(2) ergibt eine negative Zahl, Du hast es also mit einem Maximum zu tun.
Nach zwei Wochen ist demnach die Konzentration am höchsten.
Herzliche Grüße,
Willy
Der erste Wert geht zwar auch,
denn geteilt durch -0,5 kommst Du auf 0,12792638.
Auch dieser Wert ergibt in k(x) eingesetzt einen Wert von 50.
Danach steigt er aber weiter an, deshalb geht diese Lösung nicht.
Du suchst ja den Zeitpunkt, an dem die Konzentration wieder fällt und der muß ein Zeitpunkt nach dem Maximum sein.
Willy
Für die Schulmathematik ist der Weg über die Lambert-W-Funktion allerdings zu kompliziert. Du mußt hier also ein Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren wählen oder über eine Wertetabelle gehen.
Auf einem normalen Taschenrechner findest Du diese Funktion übrigens nicht; ich habe sie auf meinem Matheprogramm (WinFunktion Mathematik)
Willy
Hallo Willy,
die Umformung auf die Lambert-W-Funktion verstehe ich ja noch, aber dann die Anwendung dieser Funktion - also wie man dann auf die beiden Werte kommt - den Schritt verstehe ich nicht. Bitte um Aufklärung. ;)
Liebe Grüsse, Wilhelm.
Ich habe ja geschrieben, daß Du ein Programm brauchst, das diese Funktion beherrscht. Dort gibst Du -3/50 ein und bekommst die beiden Werte geliefert, die dazugehören. Da die Lambert-W-Funktion nicht auf herkömmliche Art gelöst werden kann, kommst Du ohne ein solche Programm nicht weiter.
Wolfram-Alpha beherrscht diese Funktion; auch das Programm Mathematik Alpha, das kostenlos als Vollversion hier heruntergeladen werden kann:
Nach Starten des Programms das Lexikon aufrufen und dort das Stichwort
Lambert-W-Funktion (2).
Diese Aufgabe ist im Lambacher-Schweizer für den Grundkurs Mathe!
Das können die doch wohl nicht wirklich ernst meinen?
Naja, Du kannst die Aufgabe natürlich auch so lösen, daß Du Dich der Lösung annäherst. Entweder tastest Du Dich immer näher heran, was mit Hilfe eines Taschenrechners nicht allzu schwierig ist, oder Du benutzt ein Näherungsverfahren.
Das Verfahren mit der Lambertschen Funktion aber geht über das Schulniveau hinaus.
Also bin nicht hundert pro sicher, aber ich würde sagen
b - Funktion mit 50 gleichsetzen und dann x bestimmen
c - Ableitung der Funktion machen und Hochpunkt bestimmen
d - Kann die Aufgabe schlecht erklären, aber die Antwort ist 20, da der vordere Teil der Funktion (also 250x*e^-0.5x) gegen 0 strebt und dann nur noch die 20 übrig bleibt
Aufgabe b ist mit trivialen Mitteln nicht zu lösen, weil x einmal als Faktor und einmal als Exponent auftritt. Du kannst die Gleichung nur über Näherungsverfahren oder mit Hilfe der Lambert-W-Funktion nach x auflösen, die allerdings ihrerseits nur über Näherungsverfahren zu berechnen ist.
Herzliche Grüße,
Willy
250x*e^(-0,5x)=250x/e^(0,5x) geht deshalb gegen Null, weil e^(0,5x) schneller wächst (nämlich exponentiell) als 250x, das linear ansteigt.
Ab etwa x=16,8 ist e^(0,5x) größer als 250x.
Willy
Also zu deinem ersten Kommentar, soweit hatte ich nicht gedacht, danke :) Zum zweiten Kommentar, ich weiß, aber bin bisschen prall und hatte keine Lust mehr das auszuformulieren ;)
Um Aufgabe b zu berechnen, wann die Konzentration also auf unter 50 sinkt, setzt Du k(x)=50:
250x*e^(-0,5x)+20=50
250x*e^(-0,5x)=30
x*e^(-0,5x)=3/25
-0,5x*e^(-0,5x)=-3/50
Der letzte Schritt ist notwendig, um den Faktor und den Exponenten gleichzusetzen.
Du kannst nun mit Hilfe der Umkehrfunktion von z*e^z, nämlich der Lambert-W-Funktion -0,5x bestimmen.falls Du einen entsprechenden Rechner hast oder ein Programm dafür besitzt.
Mein Programm spuckt -0.06396319 und -4.26350148 für -0,5x aus.
Der zweite Wert ist realistischer. Wenn Du ihn durch -0,5 teilst, kommst Du auf x=8,52700296.
Für diesen Wert wird k(x) genau 50, Du kannst also sagen, daß die Konzentration nach 8,53 Wochen auf unter 50 sinkt.
Willy