Tangenten Steigungswinkel an Funktionen bestimmenn
hallo an alle. Ich muss an einer Funktion den Bereich finden, wo die Tangente 45 Grad ist. Wie kann ich das an der Funktion machen. f(x)=x^4
2 Antworten
Hier ist eine ganz einfache Aufgabe so gestellt, dass sie nur lösbar ist, wenn der Schüler zwei oder drei ganz einfache Tatsachen mehr oder weniger trickreich, jedenfalls aber zielführend kombiniert.
Um die Steigung einer Funktion an einem Punkt der x-Achse zu finden, setzt man den x-Wert in die Ableitung der Funktion ein - die Ableitung gibt uns ja die Steigungen an.
Tangente 45 Grad: Hier muß es einfach blitzen und dann weißt Du wieder, dass zu 45 Grad die Steigung 1 gehört. Schließlich ist tan(45°) = 1
Also: Die nimmst Deine Funktion, bildest die Ableitung setzt die Ableitung gleich eins und bestimmst die Lösungsmenge der so erhaltenen Gleichung.
Ist so eine typische Deutsch-Mathe-Frage, bei der du die nötigen Informationen aus dem Text saugen musst.
Eine Tangente gibt die Steigung des Graphen an, aber nur an dem Punkt, an dem die Tangente tangiert(den Graphen berührt, großer Unterschied zum Begriff "schneiden.").
Da die Tangente "45 Grad ist", ist die Steigung dieser Tangente 1. Hier würde auch eine Skizze helfen, wenn du eine Gerade vom Ursprung aus mit einem 45° Winkel zeichnest, siehst du sofort, dass die Steigung 1 ist - alternativ: tan(45)=1
Jetzt musst du den Punkt finden, an dem die Steigung der Funktion x^4 gleich 1 ist, somit hättest du den Schnittpunkt mit der Tangente. Nach der Differentialrechnung musst du nun die erste Ableitung bilden und diese mit 1 = setzen, denn die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Mutterfunktion in diesem Punkt an. Du löst die Gleichung dann nach x auf und erhälst den X-Wert des Schnittpunktes.
Also f(x)=x^4 f ' (x)=4x^3 Schnittbedingung: 4x^3=1
- Hast du nun den Schnittpunkt, musst du nur noch den y-Wert erfahren, an dem die Tangente die Y-Achse schneidet. Dazu setzt du den x-Wert in eine Geradengleichung ein, also f(x)=mx+n m ist die Steigung also: m=1, f(x) kannst du (hier!) als 0 betrachten, also: 0=1x+n n ist der y-Achsenschnittpunkt der Tangente.
Am Ende hast du deine Zielfunktion, die dieses Format hat:
f(x)=mx+n oder: t(x)=mx+n
Wenn du Fragen hast, frag, ich bin immer so verwirrend bei Matheerklärungen =(