Steckbriefaufgabe mit Integral?
Hey Leute,
sitze gerade an der im Bild zu sehenden Aufgabe, genauer gesagt an Aufgabenteil b). Habe erst einmal die folgenden Bedingungen aufgestellt:
g(0)=1
g‘(0)=2
g‘‘(0)=2
Jetzt weiß ich allerdings nicht mehr weiter, weil ich keine Ahnung habe wie ich das Integral da einbringen soll bzw. daraus die vierte Bedingung holen soll. Würde mich freuen wenn mir da jemand helfen könnte.
LG
2 Antworten
Du hast insgesamt 4 Bedingungen für g gegeben, d. h. der Ansatz für g muss 4 "Freiheitsgrade" haben. Bei einer Polynomfunktion sind die Freiheitsgrade die Koeffizienten.
Also: g(x) = b0 + b1 x + b2 x^2 + b3 x^3
a) überleg dir, ob eine Fortsetzungsgerade von f zu viel oder zu wenig Fläche ergeben würde und zeichne eine entsprechend gekrümmte Kurve ein
b) Berechne das Integral mit den Parametern und löse die 4 Gleichungen nach den b_i auf (du kannst natürlich auch einige der b_i schon allein anhand der Ableitungen berechnen)
Hallo,
f(x)=x²+2x+1
f'(x)=2x+2
f''(x)=2
f(0)=1
f'(0)=2
f''(0)=2
Da g(x) knickfrei und sprungfrei und ruckfrei an f(x) an der Stelle f(0) anschließen soll, muß für g(x) gelten:
g(0)=1
g'(0)=2
g''(0)=2
Das sind schon einmal drei Bedingungen.
Dazu kommt, daß die Fläche unter g(x) zwischen x=0 und x=1 und der x-Achse 4 Einheiten groß sein soll, was eine vierte Bedingung liefert.
Wir können also eine Polynomfunktion dritten Grades bestimmen, die die Grundform g(x)=ax³+bx²+cx+d besitzt.
g'(x)=3ax²+2bx+c
g''(x)=6ax+2b
Da g(0)=1, folgt d=1
Da g'(0)=2, folgt c=2
Da g''(0)=2, folgt b=1
g(x)=ax³+x²+2x+1
Nun muß nur noch a bestimmt werden.
Da das Integral von 0 bis 1 4 ergeben soll und
G(x)=(1/4)ax^4+(1/3)x³+x²+x, gilt G(1)-G(0)=4
G(0)=0
Daher muß a so bestimmt werden, da0 G(1)=4
(1/4)a+1/3+1+1=4
Das solltest Du nach a auflösen können.
Herzliche Grüße,
Willy