Senkrechte Tangente welche Stelle?
Hallo,
Ich komme bei dieser aufgabe nicht weiter. Für welche werte von x haben die graphen von f und f mir f(x)= 2x^2-x+3 und g(x)= -x^2 zueinandr senkrechte Tangenten?
Danke im vorraus
3 Antworten
Hallo,
wenn zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen, dann muß die Steigung der einen Geraden der negative Kehrwert der Steigung der anderen Geraden sein.
Die Steigungen der Tangenten an beliebige Stellen eines Funktionsgraphen findest Du über die erste Ableitung.
Du hast zwei Funktionen f(x)=2x²-x+3 und g(x)=-x².
f'(x)=4x-1 und g'(x)=-2x
Nun muß gelten: f'(x)=-1/g'(x), also
4x-1=1/(2x)
Diese Gleichung mußt Du nach x auflösen:
(2x)*(4x-1)-1=0
8x²-2x-1=0
Wenn Du diese Gleichung nach der pq-Formel lösen möchtest, mußt Du sie zunächst durch 8 teilen, damit der Faktor vor dem x² verschwindet:
x²-(1/4)x-1/8=0
dann ist x₁=1/8+√(1/64+1/8)=1/2
und x₂=1/8-√(1/64+1/8)=-1/4
Bei x=-1/4 und bei x=1/2 stehen die Tangenten beider Funktionen also senkrecht aufeinander.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Tangenten sollen doch senkrecht aufeinander stehen. Deshalb müssen sich ihre Steigungen, also m, so verhalten, daß die Steigung der einen der negative Kehrwert der Steigung der anderen ist. Hat eine Tangente die Steigung 3, muß eine Senkrechte dazu die Steigung -1/3 haben. Da die Ableitungen der Funktionen an jeder Stelle die Steigung ihrer Funktionsgraphen anzeigen, muß man sehen, für welche Werte von x sie sich auch so zueinander verhalten. So berechnet man, wo ihre Tangenten senkrecht aufeinander stehen.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Tangenten an die Schaubilder von f und g sind genau dann orthogonal / senkrecht zueinander, wenn für die Steigungen gilt: m_f * m_g = -1.
Es ist m_f = f '(x) und m_g = g '(x), also
ist m_f = 4x-1 und m_g = -2x.
Dann muss gelten:
(4x-1) * (-2x) = -1,
-8x² + 2x + 1 = 0,
x² - 1/4 x - 1/8 = 0,
x = 1/8 +- sqrt( 1/64 + 8/64 )
x = 1/8 +- sqrt( 9/64 ),
x = 1/8 +- 3/8,
x = 1/2 oder x = -1/4.
Die Senkrechte (Lotrechte) wird mit mL = -1/m angegeben! Ansonsten wie immer Einsetzungs-/Gleichsetzungs- oder Additionsverfahren.
Hallo,
Erstmal vielen Dank für ihre Antwort! Noch eine kleine Frage hätte ich noch: Wie kommen sie darauf, dass f'(x)= -1/g'(x) gelten muss?