Sagt man im Ende Oktober oder am Ende Oktober?

Weder noch. Man sagt einfach nur "Anfang/Mitte/Ende Oktober".

Wenn kein Name folgt, sondern eine andere Form der Zeitangabe, dann musst du den Genitiv nehmen. Hier ist dann aber der Artikel nötig, wenn kein Adjektiv dabei steht. Mit Adjektiv ist der Artikel möglich, aber nicht nötig.

• Ende Oktober kommt meine Frau aus der Reha zurück.
• Anfang Februar ziehen wir nach Lübeck um.
• Mitte Januar habe ich Geburtstag.
• Anfang der / dieser Woche war ich in der Sauna.
• Mitte des /dieses Monats ist mein Freund zu Besuch gekommen.
• Ende des / dieses❉ Jahres kommt endlich meine Zahnspange raus.
• Anfang nächster Woche / Anfang der nächsten Woche muss ich zum Zahnarzt.
• Mitte (des) nächsten Jahres ist meine Ausbildung zu Ende.
• Ende (des) letzten Monats haben Edith und ich uns verlobt.

❉ Viele Leute sagen "Ende diesen Jahres/Monats". Das ist falsch, denn "dieser, diese, dieses" und "jener, jene, jenes" sind hier Artikelwörter und keinesfalls Adjektive. Man würde ja auch nicht sagen: Ende den Jahres/Monats. ("Den Jahr" gibt es grammatisch gar nicht, und "den Monat" ist Akkusativ!).

"im Ende Oktober" nie - wenn dann "im Oktober"

"am Ende DES Oktobers" geht

oder "Ende Oktober" geht auch

Beides ist falsch. Richtig wäre zum Beispiel: "Ende Oktober werden die Uhren umgestellt."

Ende Oktober

Anfang Februar

Mitte Mai

In diesen Fällen kannst du den Artikel vergessen!

Am Ende des Oktobers habe ich deine Mutter..

Man kann aber auch einfach Ende Oktober sagen.