Rekursive Darstellung von Folgen nur mit Termdarstellung?

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4 Antworten

Hallo,

die rekursive Darstellung gibt an, wie Du von einem beliebigen Folgenglied zum nächsten kommst.

Laut Potenzgesetz ist 2^(n+1) das gleiche wie 2^n*2. Um von irgendeinem Glied in der Folge zum nächsten zu kommen, mußt Du das vorhergehende einfach verdoppeln.

Also x(n+1)=x(n)*2

Beispiel:

Das dritte Glied der Folge, also x(3), ist 2^(3+1), also 2^4=16.

Das vierte ist dann das Doppelte davon, also 32.

Die kannst Du nach der anderen Formel auch direkt berechnen:

x(4)=2^(4+1)=2^5=32.

Herzliche Grüße,

Willy

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zu "blicke nicht ... durch"
§1: um durchblicken zu können, muss man auch logisch richtig schreiben.
das xn ist eine total verwirrende Schreibweise, da es auch x*n lauten könnte.


2 Schreibweisen sind logisch richtig:
a) Array: das n. Feldelement wird berechnet mit der Funktion...
x[n]=2^(n+1)=pow(2,n+1)
b) Funktionen-Schreibweise wenn man Argument n übergibt, bekommt man den Funktionswert:
f(n)=2^(n+1)=pow(2,n+1)


"REKURSIV" bedeutet nun einen Zusammenhang zwischen benachbarten a) Gliedern oder b) Funktionswerten zu finden. (Konst. Quotient bei geom. Folgen oder konst. Differenz bei arithm. Folgen)


http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html macht das automatisch.
Da schon die Ausgangsgleichung eine Potenz ist und das Wort "geometrisch..." auftaucht, kann es nur ein konstanter Quotient sein:
x[n+1]/x[n] = 2^(n+1)/2^(n) = 2
umgestellt mal x[n]:
x[n+1] = x[n]*2 oder nach Indexverschiebung auf beiden Seiten:

x[n] = x[n-1]*2
(Nachfolger ist doppelt so groß wie Vorgänger)

Wichtig ist noch das 1. Startglied x[0], da es mit f(0) übereinstimmen muss.
Der Iterationsrecher bietet 3 Feldvariablen an, die gleichzeitig in Spaltenform ausgegeben werden aB[...], aC[], aD[]:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch\_JAVA.htm#(x%3C1)?2:Fx(x-1)*2@Ni=0;@C0]=2;@N@Bi]=@P2,i+1);@Ci+1]=@Ci]*2;aD[i]=Fx(i);@Ni%3E22@N0@N0@N#
(LINK endet mit N# )

In der Informationstechnik muss man die 2 Nachteile von a) und b) kennen:
generell nur für ganzzahlige Argumente (Index) lösbar!
a) Array (Spalte aC):
- langsamer als die explizite Ausgangsfunktion
- stark ansteigender Speicherplatzbedarf (jedes Glied muss im RAM abgelegt werden)
b) rekursive Funktionen Spalte aD mit Funktion Fx(x)
- da pro Funktionsaufruf immer alle Teilergebnisse neu berechnet (Aufruf von sich selbst nur mit Argument um 1 kleiner) werden müssen und intern im STACK
abgelegt sind, ist das der langsamste aller Algorithmen!
- Speicherplatz wird zwar am Ende jeder Teilberechnung wieder freigegeben, aber während
der Berechnung kommen zu den Teilergebnissen noch die Rücksprungadressen dazu

Iterationsrechner mit 2 rekursiven Algorithmen - (Mathematik, Folgen, Rekursive darstellung)
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Ich sehe da keine Schwierigkeit :)

x(n) = 2^(n+1) = 2^n * 2^1 = 2 * 2^n

x(n+1) = 2 * 2^(n+1) = 2 * x(n)

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x1 = 2^2 = 4

x(n+1) = 2^(n+1+1) = 2^(n+1) • 2

und da 2^(n+1) = xn   folgt

x(n+1) = xn • 2

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