Quadratische Ergänzungen?
Wie löst man die Gleichung x^2-6x+2 nach x auf? Ich habe das Thema noch nie gemacht und würde gerne meiner Freundin helfen. Bitte mit Lösungsweg
1 Antwort
Möglicherweise meinst du die Gleichung
x^2 - 6 x + 2 = 0
?
Man kann die quadratische Ergänzung auch auf den Term
x^2 - 6 x + 2
anwenden. Ist vielleicht etwas unübersichtlicher.
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Hintergrund der quadratischen Ergänzung sind die binomischen Formeln
(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2
Wenn man einen Term hat, der z. B. quadratisch in x ist - um sich die Sache nicht noch komplizierter zu machen, klammert man den Vorfaktor von x^2 aus (falls der nicht - wie hier - sowieso schon 1 ist).
(
Wenn wir hier z. B. den Term
2 x^2 - 12 x + 4
hätten, würden wir die 2 ausklammern:
2 x^2 - 12 x + 4 = 2 * (x^2 - 6 x + 2)
Um es etwas übersichtlicher zu machen, würde ich hier den Vorfaktor 2 erst mal weglassen - ich müsste natürlich daran denken, ihn am Ende wieder hinzuzufügen. (Bei einer Gleichung könnte ich einfach beide Seiten durch 2 teilen und bräuchte am Ende nicht daran zu denken, irgendetwas wieder hinzuzufügen.) (Übrigens ist auch -1 ein Vorfaktor - daran muss man denken, wenn im Term -x^2 vorkommt.)
)
Dann können wir für das a in den binomischen Formeln unser x nehmen.
Um es etwas übersichtlicher zu machen, lassen wir die 2 am Ende erst mal weg - wir dürfen am Ende nicht vergessen, sie wieder hinzuzunehmen. (Bei einer Gleichung kann man sie einfach auf die andere Seite bringen und braucht nicht daran zu denken, irgendetwas wieder hinzuzunehmen.)
Betrachten wir also
x^2 - 6 x
Weil wir hier eine Differenz und keine Summe haben ("-" und nicht "+"), nehmen wir die 2. binomische Formel, d. h.
x^2 - 6 x
entspricht
a^2 - 2 a b
Wie oben gesagt, ist a = x. Dann muss sein:
2 a b = 6 x
Einsetzen von a = x:
2 x b = 6 x
Entweder ist x = 0 (dann hätten wir aber keinen quadratischen Term) oder es ist
2 b = 6
also
b = 3
Für die binomische Formel hätten wir dann
(a - b)^2 = (x - 3)^2 = x^2 - 6 x + 9
Wir haben aber den Term
x^2 - 6x
Wir brauchen eine +9, aber die würde für sich allein den Wert des Terms ändern. Damit der Wert erhalten bleibt, müssen wir die 9 wieder abziehen:
x^2 - 6 x = x^2 - 6 x + 9 - 9
(manchmal nennt man so was eine "nahrhafte Null")
Weiter
x^2 - 6 x= x^2 - 6 x + 9 - 9= (x^2 - 6 x + 9) - 9
x^2 - 6 x + 9 können wir nach der binomischen Formel ersetzen (wir haben es oben anders herum ausgerechnet):
x^2 - 6 x= x^2 - 6 x + 9 - 9= (x^2 - 6 x + 9) - 9 = (x-3)^2 - 9
Jetzt müssen wir noch an die +2 denken, die wir vorher ausgelassen hatten:
x^2 - 6 x + 2 = (x-3)^2 - 9 + 2 = (x-3)^2 - 7
Damit haben wir die quadratische Ergänzung auf diesen Term angewendet.
(
Wenn wir noch einen Vorfaktor gehabt hätten, müssten wir den jetzt auch wieder einfügen:
2 x^2 - 12 x + 4 = 2 (x^2 - 6 x + 2) = 2 ((x-3)^2 - 7) = 2 (x-3)^2 - 14
)