Monotonie einer Kubischen Funktion
Hallo Zusammen
Kleine Frage ich habe in unserem Script gelesen, dass eine Kubische Funktion dann Strengmonoton ist, wenn b^2<=3ac erfüllt.
Ich habe mal mit Ableitung überprüft ob das stimmen kann und bekomme nach der Ableitung eine Quadatische Funktion, die ich dann mit PQ Formel lösen möchte. Um zu prüfen ob es eine Stelle gibt die die Steigung Null hat. Dann gibt es in der PQ Formel als Radikant genau die erwähnte Formel also sqrt(b^2-3ac).
Jetzt meine Frage: Ich verstehe nicht warum es für = auch stimmt. Ich meine das gäbe dann eine Null unter der Wurzel und somit gäbe es eine Stelle auf der Funktion die die Steigung null hat. Somit ist sie ja nicht Strengmonoton. Wo liegt mein Fehler?
Würde mich über eine Antwort freuen
4 Antworten
Die Funtion hat ja nur in einem Punkt die steigung 0, das heißt der nächste Punkt ist bereits wieder höher (bzw. niedriger) und damit hast du die Bedingung für streng Monoton erfüllt.
Monton wäre eine Funtion dann, wenn die Werte auch mal konstant sind, also z.B.
1,2,3,3,4,5,6
Das wirst du aber bei einer kubischen Funktion nicht finden, denn es ist ja nur die Steigung 0. Nehmen wir mal einfach f(x) = x³. Diese hat bei x = 0 die Steigung 0 und auch den Wert 0. An der Stelle x = 0+dx wird der Funktionwert nicht 0 betragen, sondern höher sein.
Bei einer differenzierbaren Funktion verletzt die Existenz einer Stelle x0 die definierende Bedingung der strengen Monotonie genau dann, wenn es in der Umgebung von x0 zwei x-Werte mit gleichem Funktionswert gibt. Das ist beispielsweise für Extremstellen der Fall.
Wenn die Diskriminante b² - 3ac = 0 ist, hat die Ableitung genau eine Nullstelle x0. Dann berührt sie in x0 die x-Achse ⇔ wechselt in einer geeigneten Umgebung von x0 das Vorzeichen nicht.
Also hat die kubische Funktion in x0 einen Terassenpunkt (und kein Extremum). Dieser verletzt die definierende Bedingung der strengen Monotonie nicht.
damits streng monoton steigend ist, muss f'(x)>0 sein für alle x.
aka 3ax^2+2bx+c>0
daraus kann man sicherlich was ableiten :-)
Nach meiner logischen Herleitung muss b=0 sein, also das quadratische Glied fehlen, denn mit diesem erzeugst du immer einen Extremwert und damit keine monotone Funktion! Schau dir Funktionsbilder an: Innerhalb der äußeren kubischen Form erkennst du immer die Parabel des quadratischen Gliedes!
Nach meiner logischen Herleitung muss b=0 sein, also das quadratische Glied fehlen, denn mit diesem erzeugst du immer einen Extremwert
Deine "logischen Herleitung" ist falsch.
Die Funktion
f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x
enthält ein quadratisches Glied, sie hat keinen Extremwert (aber bei x=-1 einen Sattelpunkt) und ist streng monoton steigend.
Rechne es selbst nach, das ist eine gute Übung!
ok das tönt logisch, aber wo ist der unterschied zur normalen Monotonie? Also ich dachte immer, dass eine Monotone Funktion die Steigung 0 beinhalten darf. und eine Strengmonoton steigende eben nicht sie muss immer Steigend sein.