Matrix in Elementarmatrizen?

Ich muss diese Matrix in ELementarmatrizen (Produkt) umwandeln. Ich komme auf:

1. Vertausche 1 und 2
2. 2 = 1 + 2
3. 1 = 2 + 1
4. 3 = 3 * (1/2)
5. 3 = 3 - 2
6. Vertausche 3 und 2

In Elementarmatrizen wäre das:

1. P12
2. T21(1)
3. T12(1)
4. D3(1/2)
5. T32(-1)
6. P32

Und deren Produkt (von 6 zu 1) wäre dann meine Matrix. Stimmt das, oder gibt es im Internet online-Rechner dafür?

Answer 1

[MeRoXas]

Nochmal als Nachbesserung:

$A=P12^{-1}\cdot T21\left(1\right)^{-1}\cdot...\cdot P32^{-1}$

_____

Im Allgemeinen gilt:

Ist A invertierbar, so gibt es Elementarmatrizen F1, ... FN, sodass gilt:

$F_k\ \cdot F_{k-1}\cdot...\cdot F_2\cdot F_1\cdot A=id$

Daraus folgen sofort Darstellungen für A und dessen Inverse:

$A=F_1^{-1}\cdot...\cdot F_{k-1}^{-1}\cdot F_k^{-1}$

$A^{-1}=F_k\ \cdot\ F_{k-1}\cdot...\cdot F_1$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Answer 2

[MeRoXas]

Wenn du A als Produkt von Elementarmatrizen darstellen sollst, bist du noch nicht ganz fertig. Du hast damit ja nun

P32 * T32(-1) * D3(1/2) * T12(1) * T21(1) * P12 * A = id

erreicht. Wenn man das jetzt nach A "umstellt", muss man eben auf beiden Seiten linksseitig die Inversen der Elementarmatrizen dranmultiplizieren.

Soll heißen:

$A=P32^{-1}\cdot T32\left(-1\right)^{-1}\cdot D3\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}+...+P12^{-1}$

Wie die inversen Matrizen zu den entsprechenden Elementarmatrizen aussehen, solltest du dir selbst überlegen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Comments

[MeRoXas]

Edit: Es muss natürlich überall "mal" heißen, nicht "plus" wie im Editor.

Zudem muss die Reihenfolge der Matrizen bei der Inversenbildung umgedreht werden. Ich schreibe das eben in einer neuen Antwort richtig auf.