Mathematik: Betragsgleichung lösen. Bitte helfen?

Hallo, wieder einmal eine Frage zu Mathematik.

Ich verstehe ebenfalls nicht genau, wie man Betragsgleichungen löst? Warum gibt es Betragsgleichungen? Ich habe mir schon auf Youtube sämtliche Videos angeschaut. Ich weiß nur, dass es was mit dem “Abstand" zur 0 hat? Stimmt das? 

Ich bitte erneut um eure Hilfe. 

z.B | 3/10x-4/5| = 10

Answer 1

[MeRoXas]

Die Antwort von Koston85 (bzw. die weitergehenden Kommentare) sind nur die eine Hälfte. Ich hole mal etwas aus:

Der Betrag macht, salopp gesagt, alles positiv, was in ihm steht. Beispielsweise gilt |-27|=27. Wenn das, was drin steht, bereits positiv ist, ändert der Betrag nichts. So gilt dann beispielsweise |3|=3. Mehr passiert da erst mal nicht.

Auf anschaulicher Ebene gibt der Betrag einer Zahl an, wie weit sie auf dem Zahlenstrahl von der 0 entfernt. Die Zahl 3 hat, wie oben gesagt, den Betrag 3, weil sie eben genau 3 Einheiten von der 0 entfernt ist. Analog hat -27 den Betrag 27, da man ja von der 0 aus 27 Einheiten nach links gehen muss, um bei -27 zu landen.

Sobald da aber Sachen mit x vorkommen, muss man das ganze etwas präziser machen:

Was bedeutet es auf mathematischer Ebene, etwas positiv zu machen?

Im Allgemeinen definiert man den Betrag hierzu als Funktion. Ich bin mir jetzt nicht ganz sicher, ob man Funktionen vor oder nach dem Lösen von Gleichungen behandelt, deshalb hier als Kurzerklärung: Eine Funktion ist eine Rechenvorschrift, die jeder Zahl x einen Wert y zuweist. Das ist formal nicht ganz vollständig, aber das reicht an der Stelle. Eine Funktion sagt also quasi, wie man mit einer Zahl rechnet, die man ihr vorgibt.

Nun definiert man den Betrag so:

Soll heißen: Wenn die Zahl x, die ich in den Betrag packe, positiv ist, so passiert gar nichts. Als Ergebnis erhält man einfach die selbe Zahl zurück. Beispielsweise ist, wie oben schon besprochen, |3|=3, weil die 3, die im Betrag steht, ja schon positiv ist. Ist sie negativ, so erhält man das Negative dieser Zahl zurück. Wenn ich beispielsweise wie oben -27 in den Betrag packe, erhalte ich als Ergebnis -(-27). Es gilt doch aber "Minus mal Minus ist Plus", also ist -(-27) nichts anderes als 27. So wird die -27 auf mathematischer Ebene dann positiv gemacht.

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Jetzt zur Aufgabe:

Der Ausgangszustand ist ja |3/10 * x - 4/5| = 10. Anschaulich sind hier also die x-Werte gesucht, die man in den Term 3/10 * x - 4/5 einsetzen muss, damit das Ergebnis des Terms den Abstand 10 zur 0 hat.

Wie rechnet man das nun?

Im Prinzip wendet man hier nun die Definition des Betrags an:

$\left|\frac{3}{10}\cdot x-\frac{4}{5}\right|=\frac{3}{10}\cdot x-\frac{4}{5};\ \text{für}\ \frac{3}{10}\cdot x-\frac{4}{5}\ge0$

$\left|\frac{3}{10}\cdot x-\frac{4}{5}\right|=-\left(\frac{3}{10}\cdot x-\frac{4}{5}\right);\ \text{für}\ \frac{3}{10}\cdot x-\frac{4}{5}<0$

Sieht jetzt erstmal kompliziert aus, ist aber eigentlich nicht so schwierig. Man muss hier jetzt eben zwei Fälle betrachten.

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$\text{Erster Fall:}\ \frac{3}{10}\cdot x-\frac{4}{5}\ge0$ In diesem Fall darf man die Betragsstriche dann per Definition des Betrags einfach weglassen. Das ist, was Koston85 angesprochen hat.

Bevor man das tut, sollte man aber schauen, wann dieser Fall überhaupt gilt! Es kann nämlich vorkommen, dass dieser Fall nie eintritt, dann muss man ihn natürlich nicht betrachten. Genau so gut kann es vorkommen, dass eine Lösung, die wir erhalten, der Bedingung des Falls widerspricht.

Im Klartext bedeutet dass, die "Fallbedingung" nach x aufzulösen:

3/10 * x - 4/5 ≥ 0 | +4/5

3/10 * x ≥ 4/5 | : (3/10)

x ≥ 8/3

Wenn x also größer oder gleich 8/3 ist, dann ist 3/10 * x - 4/5 größer oder gleich 0 und wir dürfen die Striche in der eigentlichen Gleichung weglassen:

3/10 * x - 4/5 = 10 | + 4/5

3/10 * x = 54/5 | :(3/10)

x = 36

Für x=36 ist die Gleichung also schon mal erfüllt. Jetzt müssen wir schauen, ob sich das mit unserer Fallbedingung verträgt. Laut dieser muss x ja größer als 8/3 sein, und das ist hier der Fall. Also ist x=36 die erste Lösung.

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$\text{Zweiter Fall:}\ \frac{3}{10}\cdot x-\frac{4}{5}<0$ In diesem Fall darf man die Betragsstriche nicht weglassen, sondern muss per Definition ein Minus vor den Term setzen. Dazu aber gleich mehr. Wir gucken hier erstmal wieder, wann dieser Fall einsetzt:

3/10 * x - 4/5 < 0 | +4/5

3/10 * x < 4/5 | : (3/10)

x < 8/3

Ist genau der selbe "Schwellenwert" wie vorhin, aber das ist keine große Überraschung, da der Term, wenn man ihn in ein Koordinatensystem einträgt, eine Linie ist. Vor x=8/3 ist die Linie eben unter der x-Achse (also negativ), danach positiv.

Jetzt wieder zur Gleichung. Wie gesagt muss man nun ein Minus vor den Kram setzen, da wir im zweiten Fall sind:

-(3/10 * x - 4/5) = 10

Auch hier löst man nun wieder auf. Hier stört nun eben das Minus, aber das bekommt man weg, indem man die Gleichung mit -1 mal nimmt:

3/10 * x - 4/5 = -10 | +4/5

3/10 * x = -46/5 | :(3/10)

x = -92/3

Die Zahl x=-92/3 löst die Gleichung also auch. Jetzt gucken wir nochmal, ob das mit der Bedingung des Falls auch passt: Laut Bedingung muss x kleiner als 8/3 sein, und das ist -92/3 mit Sicherheit, also haben wir hier unsere zweite Lösung und die Aufgabe ist insgesamt fertig.

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Es kann wie gesagt durchaus vorkommen, dass sich Lösungen nicht mit den Bedingungen der Fälle vertragen. Das muss man deshalb immer nachprüfen. Hätten wir jetzt im zweiten Fall zum Beispiel als Lösung x=2 heraus, so wäre es nur eine Scheinlösung, denn x muss laut der Bedingung auch kleiner als 8/3 sein.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Höheres Fachsemester

Comments

[Linasara540]

Dankeschön! :-)