Wie funktionieren Betragsgleichungen?
Hallo,
Diese Woche haben wir Schularbeit, und ich verstehe leider nicht wie die Betragsgleichungen funktionieren. Kann mir jemand das ausführlich erklären? Grüße
3 Antworten
Du verwendest die Definition:
|a| = { a ; a>= 0 ; -a ; a < 0
Betrachte z.B
|2x-4| = 5 , x € IR
Nach Definition ist es :
|2x-4| = { 2x-4 ; x >=2 ; -2x+4 ; x < 2
Sei also nun x >= 2 :
2x - 4 = 5 <=> 2x = 9 <=> x = 9/2
weil 9/2 = 4 1/2 > 2 ist L1 = {9/2}
Sei nun x < 2:
-2x + 4 = 5 <=> -2x = 1 <=> x = -1/2
klar -1/2 < 2 also L2={-1/2}
Gesamt : L = L1 U L2 = {-1/2;9/2}
Korrigiert, sollte als abschnittsweise definierte Funktion gelten.
Eine Betragsgleichung ist eine Gleichung, in der der Betrag (Absolutwert) einer Zahl anstelle der Zahl selbst verwendet wird. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv und gibt an, wie weit die Zahl von Null entfernt ist. Beispielsweise ist der Betrag von -5 gleich 5 und der Betrag von 3 gleich 3.
Um eine Betragsgleichung zu lösen, müssen Sie zunächst den Betrag der Zahl auf beiden Seiten der Gleichung berechnen. Anschließend können Sie die Gleichung wie gewohnt lösen.
Ein Beispiel: |x - 3| = 5
Zunächst berechnen wir den Betrag auf beiden Seiten:
|x - 3| = 5
Da wir nicht wissen, ob x größer oder kleiner als 3 ist, müssen wir die Gleichung in zwei Teilgleichungen aufspalten:
x - 3 = 5 oder x - 3 = -5
Lösungen der Gleichung sind x = 8 und x = -2.
Es ist wichtig darauf zu achten, dass man die gleichungen wieder zusammensetzt bevor man die Lösungen rausfindet.
Hoffe das hilft dir beim verstehen der Betragsgleichungen.
Im Grunde genommen muss hier lediglich eine Fallunterscheidung vorgenommen werden:
für den Fall, dass der Ausdruck positiv verändert, ist sich nicht wirklich was.
Wird aber der Ausdruck negativ, so wird alles mit -1 multipliziert, sodass ein VZ-Wechsel stattfindet
Beispiel
f(x)=|x+2| - für alle x<(-2) gilt dann -1*(x+2)
Der Ausdruck kann also nie negativ, und minimal 0 werden :)
Der Betrag ist keine Menge.