Matheaufgabe: Wie berechnet man die Wand der Seifenblase?
Aus einem kugelförmigen Tropfen mit 3mm Durchmesser wird eine Seifenblase mit dem Radius 6cm (außen gemessen) gepustet. Wie dick ist die Wand der Seifenblase?
4 Antworten
Du berechnest das Volumen des kugelförmigen Tropfens und setzt es gleich mit dem Volumen der hohlkugelförmigen Seifenblase.
Das Volumen des kugelförmigen Tropfens ist: V_T = ( 4 / 3 ) * Pi * r^3
Also V_T = ( 4 / 3 ) * Pi * ( 1,5 mm )^3 = ( 4 / 3 ) * Pi * ( 3 / 2 mm )^3 = ( 4 / 3 ) * Pi * ( 27 / 8 ) * mm^3
Das Volumen der Seifenblasenwand ist: V_S = Volumen einer Vollkugel - Volumen des Hohlraumes im Inneren. Dazu sei r_a der Außenradius und r_i der Innenradius der Hohlkugel (Seifenblase)
Also V_S = ( 4 / 3 ) * Pi * r_a^3 - ( 4 / 3 ) * Pi * r_i^3. Setze nun r_a = 60 mm:
V_S = ( 4 / 3 ) * Pi * ( 60 mm )^3 - ( 4 / 3 ) * Pi * r_i^3 = ( 4 / 3 ) * Pi * 60^3 * mm^3 - ( 4 / 3 ) * Pi * r_i^3 = ( 4 / 3 ) * Pi * 216000 * mm^3 - ( 4 / 3 ) * Pi * r_i^3
Stelle nun V_T und V_S gleich:
V_T = V_S
( 4 / 3 ) * Pi * ( 27 / 8 ) * mm^3 = ( 4 / 3 ) * Pi * 216000 * mm^3 - ( 4 / 3 ) * Pi * r_i^3 ... Teile durch ( 4 / 3 )
Pi * ( 27 / 8 ) * mm^3 = Pi * 216000 * mm^3 - Pi * r_i^3 ... Teile durch Pi
( 27 / 8 ) * mm^3 = 216000 * mm^3 - r_i^3 ..... subtrahiere 216000 * mm^3
( 27 / 8 ) * mm^3 - 216000 * mm^3 = - r_i^3 .... multipliziere mit ( - 1 )
r_i^3 = - ( 27 / 8 ) * mm^3 + 216000 * mm^3
r_i^3 = 215996,625 * mm^3 .... Ziehe die dritte Wurzel
r_i = dritte Wurzel aus ( 215996,625 * mm^3 )
r_i = 59,9996875 mm
Die Wanddicke der Seifenblase ist dann die Differenz des Außenradius r_a und des Innenradius r_i
d = r_a - r_i
d = 60 mm - 59,9996875 mm
d = 3,125 * 10^(-4) mm = 0,3125 Mikrometer
Hi,
um die Oberfläche einer Kugel zu brechnen, wendest du folgende Formel an:
O=4*pie(alos 3,14...)*r²
Daraus folgt, das du den Radius der Kugel benötigst...
Also misst du den Durchmesser der Kugel und teilst ihn durch 2, somit hast du dann "r"
Das Volumen der Seifenblasenhülle ist fast genau ihre Oberfläche mal ihre Dicke d, also 4π R² d mit R = 60 mm. Das Volumen des Tropfens ist 1⅓π r³ mit r = 1,5 mm. Gleichsetzen und auflösen nach d gibt d = ⅓r³ / R²
Das Volumen von dem Tropfen ist das gleiche, wie das der Seifenblasenwand, also 1⅓π r³ = 4π R² d . Jetzt nach d auflösen.
Das mit dem gleichsetzen vverstehe ich nicht so ganz...:/
wie genau meinst du dass jetzt?
die Fläche.. oder dass Volumen?
Fläche: 4*r^2 * PI
Das Volumen ist ja bekannt - das Volumen des Tropfens mit 3mm Durchmesser
4/3 * (3mm)^3 * PI
Das Volumen der Seifenblase ist auch bekannt
4/3 * (60mm)^3 * PI
davon ziehst Du jetzt das "Luftvolumen" der Blase ab
4/3 * (60mm-x)^3 * PI
also
4/3 * (60mm)^3 * PI - 4/3 * (60mm-x)^3 * PI = 4/3 * (3mm)^3 * PI
das vereinfacht Du mit * 3/4 und : PI
(60mm)^3 - (60mm-x)^3 = (3mm)^3
vielleicht noch
(60mm)^3 - (3mm)^3 = (60mm-x)^3
links sind Zahlen - rechts - oops - ein hoch 3 - also schön durchmultiplizieren und dann ne kubische Gleichung lösen
macht der Taschenrechner ... wenn ers kann ... - zur Not graphisch
Volumen.. wird schwierig..
du brauchst di Wanddicke .. sagen wir mal die Wand ist 1mm dick
, die Seifenblase hat 100 mm durchmesser (zahlen sehr glaubhaft^^)
dann rechnest du dir zuerst das Volumen der Luftkugel innerhalb der Wand aus Volumen einer Kugel = 4/3 * r^3 * PI
innendurchmesser 49mm ^3 * 4/3 *PI =
492806mm^3
dann dass Volumen der äußeren Kugel inklusive der Wand
4/3 * r^3 * PI
50mm ^3 * 4/3 *PI =
523598mm^3
dann das Volumen der äußeren - das Volumen der Luftkugel = Volumen der Wand
523598mm^3-492806mm^3=30792 mm^3 =30,792cm^3