Mathe?

Nachdem Luca für Auto und Urlaub einiges von Geld benötigt hat, befinden sich noch 20.000€ auf dem Konto davon möchte er sich zukünftig jeweils am Jahresanfang 4500€ auszahlen lassen. Berechnen Sie wie viele Jahre Luca den vollen Betrag mit einem Zinssatz von 1,64% ausbezahlen lassen kann 

Answer 1

[nobytree2]

Der Rest nach einem Jahr ist (Anfangssumme = S, Auszahl = A, zins = z)

$\left(S-A\right)\cdot\left(1+z\right)$

Danach haben wir

$\left(\left(S-A\right)\cdot\left(1+z\right)-A\right)\cdot\left(1+z\right)$ Dann

$\left(\left(\left(S-A\right)\cdot\left(1+z\right)-A\right)\cdot\left(1-z\right)-A\right)\cdot\left(1+z\right)$

Also offensichtlich eine geometrische Reihe. Das formulieren wir um in (j = jahre)

$S\cdot\left(1+z\right)^j-A\cdot\left(1+z\right)^j-A\cdot\left(1+z\right)^{j-1}-...-A\cdot\left(1+z\right)^0$ Am Ende steht die 0, weil die letzte Auszahlung zum Schluss ist (wir berechnen den Endwert).

Das können wir verkürzen zu

$S\cdot\left(1+z\right)^j-\sum_{i=0}^jA\cdot\left(1+z\right)^i=\left(1+z\right)^jS-A\sum_{i=0}^j\left(1+z\right)^i$

Die Summe können wir wie folgt zusammen fassen

$X=\sum_{i=0}^j\left(1+z\right)^i=\sum_{i=1}^{j+1}\left(1+z\right)^{i-1}\to X\left(1+z\right)=\sum_{i=1}^{j+1}\left(1+z\right)^i$ $X-X\left(1+z\right)=X\cdot\left(1-1+z\right)=X\cdot z=\sum_{i=0}^j\left(1+z\right)^i-\sum_{i=1}^{j+1}\left(1+z\right)^i$ $Xz=\left(1+z\right)^0-\left(1+z\right)^{j+1}\to X=\frac{1-\left(1+z\right)^{j+1}}{z}$ Damit

$0=\left(1+z\right)^jS-A\cdot\frac{\left(1-\left(1+z\right)^{j+1}\right)}{z}\to\left(1+z\right)^jS=\frac{A\left(1-\left(1+z\right)^{j+1}\right)}{z}$ Das jetzt nach j umformen (ggf. habe ich mich in der Formel vertan).

Answer 2

[micha259]

Du musst ausrechnen, wieviel 1,64% von 20000 sind. Dann rechnest du das zusammen und hast den Betrag nach einem Jahr. Davon ziehst du dann die 4500€ ab und von cem Rest rechnest du wieder 1,64% und addiert es und so weiter...