Limes berechnen?
Hey, Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter: Steigung der Funktion f (x)=0,5x^2 an der stelle x0=2 berechnen. Da hab ich folgendes gemacht: lim=0,5x^2-2:x-2. Und wie rechne ich jetzt weiter?
2 Antworten
Du musst den Limes: (f(x)-f(x0))/(x-x0) berechnen für x→x0
f(x) = 0,5x²
f(x0) = f(2) = 2
Gesucht ist: lim (0,5x² - 2)/(x-2) für x→2
Da im Nenner NICHT 0 stehen darf, darf man nicht einfach so x=2 setzen, sonden muss den Term erst noch so umformen, dass sich NICHT 0 im Nenner ergibt:
(0,5x² - 2)/(x-2) Im Zähler 0,5 ausklammern:
= 0,5(x²-4)/(x-2) Im Zähler die 3. Binomische Formel auf die Klammer anwenden:
= 0,5(x+2)(x-2)/(x-2) Jetzt (x-2) wegkürzen
= 0,5(x+2)
=> lim 0,5(x+2) für x→2 Da kann man jetzt, um den Grenzwert zu bekommen, x=2 setzen:
lim 0,5(x+2) = 0,5(2+2) = 0,5•4 = 2 :-)
Um die Steigung einer Funktion (an einem gewissen Punkt) zu bestimmen musst du keinen Grenzwert suchen, sondern die Funktion ableiten. Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente an die Funktion in diesem Punkt...
Also rechnest du f'(x) aus und setzt dann für x 2 ein.
Achso ok, natürlich geht es auch mit dem Limes, ist aber ein zimlicher Umweg. Um es mit dem Limes zu berechnen, kannst du folgendes berechnen:
lim(h->0) von ((f(x0+h)-f(x0)) / h)
So berechnest du sozusagen (delta y / delta x), also die Steigung einer Sekante durch x0 und x0+h. Mit dem Limes verkleinerst du das Delta "bis" 0 und näherst die Steigung der Sekante somit der Steigung Tangente durch x0 an (was du mit der Ableitung direkt erhältst).
Ja aber unser lehrer hat uns gesagt dass wir das so machen müssen....aber trotzdem Danke;)