Kürzeste Kurvendistanz via Lagrange?

Hi,

wir haben leider noch nicht mal Lagrange gelernt und schon diese Aufgabe :( keine ahnung, wie ich das rechnen soll und bin über jeden Ansatz dankbar :/

Answer 1

[Reggid]

wir haben leider noch nicht mal Lagrange gelernt...

dann solltest du das schnell nachholen.

für eine Langrange funktion

$L\left(\phi'\left(\theta\right),\phi\left(\theta\right)\right)$ erfüllt jener weg der die wirkung (hier die länge) minimiert die Euler-Lagrange-gleichung

$\frac{d}{d\theta}\frac{\partial L}{\partial\phi'}-\frac{\partial L}{\partial\phi}=0$

was du brauchst ist die metrik auf der kugeloberfläche (die du dir überlegen kannst wenn du z.B. zu 3D-kugelkoordinaten betrachtest und dann r=1 setzt)

$ds^2=d\theta^2+\sin^2\theta\ d\phi^2$ bzw. damit dann

$ds=d\theta\sqrt{1+\sin^2\theta\phi'^2}$ und da kann man dirket die Lagnrange funktion ablesen

$L=\sqrt{1+\phi'^2\sin^2\theta}$ wie im hinweis bereits steht, hängt sie praktischerweise nicht von phi ab, und damit ergibt sich nach der Euler-Lagrange-geichung dass

$\frac{d}{d\theta}\frac{\partial L}{\partial\phi'}=0\ \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ \frac{\partial L}{\partial\phi'}=c$ wobei c eine konstante ist. die ableitung ausgeführt

$\frac{\partial L}{\partial\phi'}=\frac{\phi'\sin^2\theta}{\sqrt{1+\phi'^2\sin^2\theta}}=c$ und nach phi-prime umgestellt hast du die lösung

$\phi'=\frac{d\phi}{d\theta}=\frac{c}{\sin\theta\sqrt{\sin^2\theta-c^2}}$

Comments

[guschteusz]

Vielen Dank für die schnelle und akkurate Antwort!
Ich probiere Lagrange zu lernen, aber es ist schwer, wenn es in den Vorlesungen (noch) nicht erklärt wurde und man sich das selbst beibringen muss :/ Kannst du mir vielleicht Bücher oder Quellen zu dem Thema empfehlen?
Auf die Lagrange-Funktion bin ich mittlerweile auch gekommen, allerdings habe ich die Kugelkoordinaten genommen, abgeleitet und hoch zwei genommen. Damit bin ich auf das selbe Ergebnis gekommen.
Wie kommst du darauf, dass d/d0 dL/dphi' = 0 sein muss? bzw dass dL/dPhi' = c? Weil in der Angabe steht, dass der Impuls erhalten ist und dieser konstant wäre?

[Reggid]

@guschteusz

Wie kommst du darauf, dass d/d0 dL/dphi' = 0 sein muss?

weil dL/dphi =0 ist (weil L nicht von phi abhängt) und damit bleibt in der Euler-Lagrange-gleichung nur der term d/d0 dL/dphi' = 0 stehen.