Kongruenzgleichung, Modulorechnung?
Ich sitze nun seit etwas Längerem an einer Aufgabe, bei der ich nicht einfach nicht zur richtigen Lösung komme.
So lautet die Aufgabe:
21 * x ≡ 36 (mod 51). Für das x soll 26 rauskommen, doch ich komme lediglich auf 27, egal was ich mache. Ich finde den Fehler nicht, all meine Rechnungen müssen eigentlich stimmen. Ich bin so vorgegangen:
Zuerst habe ich den ggT(51, 21) gesucht, dieser ist 3. Da der ggT 3 lautet, müssen "alle" Zahlen der Gleichung durch 3 geteilt werden - falls das b, hier die 36, durch 3 teilbar ist, kann man fortfahren - es ist durch 3 teilbar.
Ich habe dann im erw. euklidischen Algorithmus 51/3, also 17 und 21/3, also 7, eingesetzt, bin letztendlich auf den ggT von 1 gekommen und habe als y das Ergebnis 5 bekommen. Die 5 dann wieder mit der 36 multipliziert, ergibt 180, die 180 durch den eigenen Rest (Modulo 51) ersetzt, ergibt 27. Und das ist falsch.
Ich weiß nicht, ob sich hier jemand mit diesem Thema auskennt. Wenn ja - kann mir da jemand helfen? 😅
Falls es jemanden interessiert, ich habe den Fehler gefunden. Als ich das x durch die 5 ersetzt habe und diese mit der 36 multipliziert habe, hätte ich sie nicht durch 36 multiplizieren sollen, sondern durch 36/3; also 12. Dann das Gleiche mit dem durch eigenen Rest ersetzen, das nicht mit mod 51 machen, sondern mit 51/3; also 17! Kommt zwar 9 raus, aber das ist auch Teil der Lösungsmenge.
1 Antwort
Durch 3 teilen ist richtig. Dein Ergebnis 5 aus dem euklidischen Algorithmus darfst du dann aber auch nur mit 36/3 multiplizieren, macht 60, modulo 17 ist das 9. Das ist die Lösung modulo 17, und sie funktioniert auch in der originalen Gleichung modulo 51: 21 * 9 = 189 = 36 + 3 * 51. 9+17 = 26 ist auch eine Lösung mod 51, ebenso 43. Da du durch 3 geteilt hast, erhältst du beim "zurückrechnen" 3 Lösungen.