Kegel in Würfelförmiger Kiste- Volumen muss ¼ vom Würfel sein?

Ich benötige Hilfe bei der Aufgabe mit dem Kegel in dem Würfel.

Vielen Dank

Answer 1

[GuteAntwort2021]

Hallo.

Ein Würfel ist ein dreidimensionales Quadrat, hat also das Volumen von Kantenlänge zum Kubik:

$V_{Würfel\ }=\ a^3$

Der Kegel hat einen Durchmesser, wie man gut in der Skizze sehen kann, welcher der Kantenlänge des Würfel entspricht. Gleiches gilt für die Höhe. Die Volumenformel eines Kegel lautet:

$V_{Kegel}\ =\ \frac{1}{3}\ \cdot\ Grundfläche\ \cdot\ Höhe$

Und die Grundfläche entspricht natürlich der Kreisfläche. Die Formel für die Kreisfläche?

$A_{Kreis}\ =\ r^2\ \cdot\ \pi$

Wir wissen, dass der Durchmesser der Grundseite des Würfel entspricht.

$r\ =\ \frac{1}{2}\ a$ $r^2\ =\ \frac{1}{4}a^2$

Wenn wir also das r² in der Flächenformel des Kreises mit a²/4 ersetzen und die Grundfläche mit a²/4 * π ersetzen, als auch die Höhe mit a ersetzen, dann kommen wir auf welches Volumen vom Kegel?

$V_{Kegel}\ =\ \frac{1}{3}\ \cdot\ \pi\ \cdot\ \frac{1}{4}a^2\ \cdot\ a$ $V_{Kegel}\ =\ \frac{\pi}{3}\ \cdot\ \frac{1}{4}a^3$

Wenn wir jetzt noch wissen, dass π ~ 3,141592... ist, also ein Drittel davon ungefähr 1 entspricht, dann bleibt für das Volumen nur noch stehen?

$V_{Kegel}\ \sim\ \frac{1}{4}\ \cdot\ a^3$

was also in etwa 1/4 des Volumens des Würfels ist.

LG

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Diplom Wirtschaftsinformatiker

Answer 2

[evtldocha]

Der Radius der Grundfläche des Kegels ist a/2 (Kantenlänge des Würfels ist "a") und seine Höhe ist a. Damit ist das Verhältnis der beiden Volumina (unter der Annahme π ≈ 3):

$\frac{V_K}{V_W}=\frac{\frac{1}{3}\pi r^2\cdot a}{a^3}=\frac{\frac{1}{3}\pi\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot a}{a^3}=\frac{\frac{1}{3}\pi\frac{a^2}{4}\cdot a}{a^3}=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{1}{4}\ \approx\frac{1}{4}$