Kann mir jemand folgendes Verfahren erklären?
Ich habe dieses Thema in Mathe, aber ich verstehe es nicht wirklich. Ich würde mich freuen wenn mir jmd das in eigenen Worten erklären kann.
1 Antwort
Ich habe selbst noch nie von diesen "Sägezahnverfahren" gehört.
Wenn ich mir das aber genauer anschaue, so sehe ich die Verwendung des Newton-Verfahren (oft: Newton'sches Annäherungsverfahren) mit
x(2) = x(1) - f(x)/f'(x)
Und letztlich wird mathematisch hier nichts anderes beschrieben.
Man stelle sich vor, man habe eine beliebige stetige Funktion und deren Funktionsgraphen (Kurvenverlauf). Diese schneidet an einen bestimmten Punkt die x-Achse (Nullstelle).
Normalerweise ermittelt man die Nullstelle durch äquivalentes Umformen und weitere Gleichungen, die exakte Lösungen liefern.
Beispiel hierfür Polynomfunktionen wie lineare, quadratische, biquadratische Funktion etc.
Es gibt z.B. Funktionen, da kann man nicht einfach nach x umstellen (Äquivalentes Umformen) und geeignete Gleichungen zur schnellen, exakten Berechnungen existieren nicht. Hierfür behilft man sich das oben genannte Verfahren als numerisches Verfahren, dass nur eine Approximation, also eine Annäherung, liefert.
Dafür kann man aber das Newton-Verfahren bei jeden stetigen Funktionstypen anwenden und erhält näherungsweise jede Nullstelle, soweit in etwa die Lokalität der Nullstelle und der Verlauf drumherum bekannt ist.
Beispiel solch einer Funktion wäre f(x) = xe^(x).
Man macht nichts anders als dass man einen x-Wert ermittelt, der etwas näher an der Nullstelle ist als der von dir willkürlich gewählten, aber geeigneten x-Wert, den du in
x(2) = x(1) - f(x)/f'(x)
eingesetzt hast. Von Iteration redet man hier, da die einmalige Berechnung nicht ausreicht. Man bekommt nur einen näheren Wert, der näher an der Nullstelle liegt. Wenn man diesen Schritt mit den neuen x-Wert aber wiederholt und das mehrmals macht, also man "Iteration" betreibt, dann wird der neue x-Wert mit jeden Schritt genauer und die Schwankung der Dezimalstellen (Nachkommastellen) wird immer geringer, somit das Ergebnis genauer.
Bildlich betreibt man nichts anderes als eine Tangente an den dir ausgewählten x-Wert aufzuzeichnen, deren Schnittpunkt mit der y-Achse einen näheren x-Wert liefert als der von dir ausgewählte x-Wert.
Vielen danke für deine sehr ausführliche Antwort, allerdings meinte meine Lehrerin dass es sich hierbei nicht um das Newton Verfahren handelt, da scheinbar beim Schaubild eine Sekante genutzt wird und die Nullstellen dann wie diese Sägezähne aussehen. Nur leider hab ich nicht verstanden wie sie das meint bzw. wie man sowas errechnet / darstellt.
Dennoch herzlichen Dank für deine Hilfe
Hm, gute Frage.
Mit scheint es so, dass das besagte "Sägezahnverfahren" eine mathematische Bedingung ist um zu prüfen, ob das Newton-Verfahren angewendet werden kann ohne eine bildliche Auftragung vor sich haben zu müssen.
Denn die besagte Bedingung
f[x(0)] * f[x(1)] < 0
besagt nichts anderes, als das der eben beschriebene Vorzeichenwechsel von f(x) stattfindet und somit innerhalb des beschriebenen Intervalls [x(0); x(1)] mindestens eine Nullstelle existieren muss, schließt aber nicht aus, dass mehrere dazwischen vorliegen.
Fortführend wird hier mit
x(2) = x(1) - f(x)/m
nichts anderes als das besagte Newton-Verfahren betrieben. Verbindet man nun die Punkte wie in den dargestellten Diagrammen (d.h. die Punkte der Kurve mit den Schnittpunkt mit der x-Achse), so erhält man nunmal ein Sägezahn-Muster.
Was mich weiterhin nur irritiert ist, dass in den eingezeichneten Diagrammen anscheinend der Anstieg der Sägezähne konstant ist, was gegen Newton spricht.
Aber mathematisch gibt dies hier auch nicht viel her.
Das eine Sekante eingezeichnet wurde ist nicht der Hit: Letztlich bedient man sich dennoch der Berechnung mittels Tangente!
Die Sekante zeigt nur, dass eine Annäherung mittels Newton nur dann erfolgen kann, wenn der Anstieg der Sägezähne größer ist als der Anstieg der Sekante.
Ist dies nicht der Fall, so nähert man sich der falschen Richtung einen anderen Punkt/Bereich an: Der Startpunkt wurde damit falsch gewählt.
Vielen Dank für Ihre erneuten Antworten. Was mich verwirrt ist eben der Bereich unter den Schaubildern. Das verstehe ich immernoch nicht. Dennoch danke für Ihre Antwort und entschuldigen Sie, dass ich Ihnen die Zeit gestohlen habe
Der Bereich unter den Schaubildern? Bitte Duzen, bin 25 und trinke immer noch Bier.
Ich habe mir nur angewöhnt hochgestochen genau in Mathematik zu sein.
Das mit der Tangensfunktion entspricht nur eine andere Darstellungsweise/Schreibweise bzw. Berechnungsform um den Anstieg zu berechnen. Der verwirrt in meinem Empfinden mehr als zu Nutzen.
Okay, dann danke ich DIR :D
Ich schreibe jz mal auf wie ich das ganze verstanden habe und würde Dich bitten mir zu sagen ob Du denkst dass es passen könnte.
Ich habe die Funktion f(x)= x^2 - 1,5 genommen
Durch eine Wertetabelle fand ich heraus dass die Nullstelle zwischen 1 und 2 sein muss.
Dann habe ich im Schaubild 1 als x0 eingezeichnet und 2 als x1 .
Durch diese Punkte habe ich dann eine Sekante gezeichnet.
Danach habe ich m= f (x0) -f (x1) geteilt durch x0-x1
Also m= -0,5-2,5 geteilt durch 1-2
m = 3
X2=x1-f (x1)/m
X2=1-2,5:3
X2=1,833 periode.
Dann x3=x2-f (x2) / 3
X3= 1,213
Dann immerso weiter bis die ersten Nachkommastellen gleich blieben.
Im Schaubild hab ich dann immer etwa da wo die neue Nullstelle ist das dazugehörige x hingeschrieben (z.B. x3 oder x4) und von der alten Nullstelle es so verbunden dass es wie bei dem Bild was oben beiligt aussieht.
Ich hoffe mal so stimmt es.
Und Dir nochmal vielen Dank
f(x) = x² - 1,5
f'(x) = 2x
pq-Formel ergibt (zur Übersicht): x1/2 = +/- 1,22474487 ...
Frei gewählt: x1 = 1,5
x2 = x1 - f(x1)/f'(x1)
x2 = 1,5 - (1,5² - 1,5) / (2 * 1,5)
x2 = 1,5 - 0,75 / 3
x2 = 1,25
Chronologische Iteration:
x1 = 1,5000
x2 = 1,2500
x3 = 1,2250
x4 = 1,2247...
x5 = 1,2247...
Die Ziffern, die sich vorher nicht verändert haben, habe ich dick markiert als Kennzeichnen von Konstanz. Wann man abbricht ist jeden selbst überlassen.
Ich kam auf jeden Fall durch mein Verfahren auf das gleiche Ergebnis wie du :)
Ich habe morgen noch einmal die Möglichkeit meine Lehrerin zu fragen und ihre Antwort teileich Dir dann mit.
Ich bedanke mich vielmals und wünsche Dir noch einen schönen Abend
Ich habe mal jetzt ein wenig im Internet gewälzt und kam auf folgende Funde:
Es existieren mehrere Verfahren zur Annäherung an die Nullstelle:
- Newton-Verfahren
- Regula-Falsi-Verfahren
- Bisektion
- Sekantenverfahren
An und für sich denke ich, dass du eigentlich das Sekantenverfahren verwendet hast. Schau mal bei Wikipedia: Es gibt dort sehr gute GIF-Animationen.
Beim Sekantenverfahren entsteht das bei dir beschriebene Sägezahn-Muster. Das Sekantenverfahren ist nur eine Vereinfachung/ein Spezialfall des Newton-Verfahren.
Problem ist, dass in meinem Buch das 2 unterschiedliche Verfahren sind, und wenn ich mir das so genau anschaue ist es glaube ich doch nicht das gleiche. Aber Dankeschön nochmal :)
Hey ich wollte Dir nochmal danken. Habe heute meine GFS darüber gehalten und eine 2 bekommen :D
Kein Problem. Im Falle, dass das jetzt alles auch wirklich geholfen hat. :D
Es hat geholfen. Hab in meiner GFS eine 2- bekommen
Sie wissen nicht zufällig wie das geht was ich Ihnen in meinem anderem Kommentar genannt habe?