Kann ein Häufungspunkt auch ein innerer Punkt sein?
2 Antworten
Sicher. Einfachstes Beispiel ist das reelle Einheitsintervall
Dort ist jedes Element ein Häufungspunkt, denn jede Umgebung um ein beliebiges Element enthält mindestens einen weiteren Punkt (hier sogar unendlich viele). Nimm dir einen inneren Punkt raus und da hast du deinen inneren Häufungspunkt. Ist vielleicht kein exemplarisches Beispiel, aber illustriert, dass es möglich ist.
Ich sehe nicht warum es nicht gehen sollte.
Ein innerer Punkt ist ja ein Punkt, der eine epsilonumgebung hat die in der Menge liegt (kurz: Zahlen, die minimal drüber und drunter liegen, sind auch in der Menge; es ist eben kein Randpunkt)
kannst du auch drüber charakterisieren dass die meisten folgenglieder in der menge liegen falls eine menge gegen den wert konvergiert.
Häufungspunkt ist ein Punkt, zu dem mindestens eine teilfolge einer folge konvergiert.
Ich würde vermuten dass beides gleichzeitig möglich ist.
bspw:
intervall [0,2]
folge an=1+(-1)^n*1/n
alle folgenglieder sind drin, es gibt ne epsilon umgebung mit espilon <=1, sodass die drin ist.
das teil konvergiert gegen 1, die teilfolgen für gerade und ungerade n konvergieren auch gegen 1.
da 1 ein grenzwert ist, ist er zwangsläufig auch ein häufungspunkt.
mir ist gerade kein besseres beispiel eingefallen.
aber im prinzip müsste beides gleichzeitig möglich sein
ich würde sogar fast behaupten, innerer punkt impliziert häufungspunkt!
Nicht ganz. Das gilt nur in normierten linearen Räumen.
Auch die Gegenrichtung stimmt nicht, betrachte die Teilmenge aller einfachen Reziproken, vereinigt mit der Null:
{1/n : n natürlich} ∪ {0}
Dann ist 0 ein Häufungspunkt, aber kein innerer Punkt.
ist 0 ein häufungspunkt?
wobei zumindest eine folge gibts ja die da hin konvergiert und drin ist..
Klar. Nimm dir eine Epsilonumgebung um die Null und du wirst sehen, dass unendlich viele Punkte enthalten sind. Das Argument mit der Folge geht aber natürlich auch.
ich würde sogar fast behaupten, innerer punkt impliziert häufungspunkt!
weil
g häufungspunkt
epsilonumgebung von g in menge
unendlich viele folgenglieder einer folge mit grenzwert g liegen in menge
damit ist g grenzwert der folge
da g rgenzwert, ist g auch häufungspunkt der folge.
gegenrichtung weiß ich nicht, müsste aber auch gelten entsprechend