Invarianz bei Maximum Likelihood?

Gegeben seien die folgenden Infos zu den beiden geometrische Verteilungen:

Meine Frage: Kann man auch mittels Invarianz den MLE-Schätzer aus (2) bestimmen?

Mein Versuch (leider falsch):

Answer 1

[Rammstein53]

Ich weiß nicht, ob Dir das weiterhilft, aber ich versuche es mal mit einem allgemeinen Ansatz:

$L\left(ẟ\right)\ =\ ẟ^k\ \cdot\ \left(1-ẟ\right)^{y-n}$

Den Logarithmus anwenden, um das Maximum zu finden:

$l\left(ẟ\right)\ =\ k\cdot\log\left(ẟ\right)\ +\ \left(y-n\right)\cdot\log\left(1-ẟ\right)$

Ableiten:

$l'\left(ẟ\right)\ =\ \frac{k}{ẟ}\ -\ \frac{y-n}{1-ẟ}\ =\ \frac{k\ -\ kẟ\ -\ yẟ\ +\ nẟ}{ẟ\left(1-ẟ\right)}$

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Fall 1: k = 1, n = 1

l'(ẟ) = 0 wenn

1 - ẟ - yẟ + ẟ = 0

1 - yẟ = 0

daraus folgt: ẟ' = 1/y

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Fall 2: k = 1, n = 0

l'(ẟ) = 0 wenn

1 - ẟ - yẟ = 0

1 - ẟ(1+y) = 0

daraus folgt: ẟ' = 1/(1+y)