Hat die Phasenverschiebung was mit der Ableitung zu tun?
Die ergeben bequemerweise gerade auch die Ableitungen, ist das Zufall?
2 Antworten
Nein, das ist kein Zufall.
Es hängt mit der Eulerschen Formel zusammen, die die Sinus-, die Cosinus- und die natürliche Exponentialfunktion miteinander in Zusammenhang bringt. (Allerdings über die komplexen Zahlen, wo es möglich ist, die Quadratwurzel aus -1 zu bilden.)
Für alle z ∈ ℂ gilt:
exp(i z) = cos(z) + i sin(z)
Schau dir hierzu die "Vektordarstellung" der komplexen Zahlen an, insbesondere die Darstellung in "Polarkoordinaten".
Beim Ableiten erhält man auf der linken Seite jedesmal einen Faktor i, was in Polarkoordinaten einer Drehung um einen rechten Winkel gegen den Uhrzeigersinn bedeutet. Ein rechter Winkel ist gerade π/2.
Auf der rechten Seite wird beim Ableiten aus sin cos und aus cos -sin etc., was genau der von dir genannten Phasenverschiebung entspricht.
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Anmerkung:
In der Elektrotechnik verwendet man üblicherweise j statt i für √(-1) und nimmt für ein paar Formeln die andere Vorzeichenkonvention als in der Mathematik (z. B. bei der Fourier-Zerlegung). Deshalb vergleicht man Formeln aus der Elektrotechnik und Formeln aus der Mathematik oft am besten, indem man j = -i bzw. i = -j ersetzt.
Beispiel:
Q = C *U
Wenn du das ableitest, steht links I.