Hallo meine Lieben ich hoffe ihr lieben Mathematiker da draußen könnt mir helfen. Könnt ihr mir bei dieser Aufgabe ein paar Tipps oder aufgabenstücke helfen?
Für einen Film soll eine Landschaft digitalisiert werden. Hierbei wird das Profil eines Berges durch eine Glockenkurve der Form f(x)=a+be^x^2 modelliert. a) Bestimmen sie mithilfe der Daten aus der Abbildung die Werte von a und b. Mein Ansatz: 2 Punkte aus der Abbildung --> P(1,5/0,7);P(0/1,2) und ich habe diese in ein Gleichungssystem gemacht. 0,7=a+be^-1,5^2 1,2=a+b*e^-0^2 b) An welcher Stelle ist der Berg am steilsten? --> wird da der Wendepunkt berechnet!! Wie groß ist der Anstieg dort? c) Auf dem westlichen Bergrücken beginnt in 800m Höhe ein gerader Tunnel durch den Berg, der bis zur Spitze geht. Wo liegt der Tunneleingang? Wie lang ist der Tunnel? Da wusste ich nicht genau was ich mit den beiden fragen anfangen sollte.. gebt mir da mal bitte einen Tipp. d) Aus der Mitte des Tunnels soll ein senkrechter Schacht zur Oberfläche des Berges führen. Wie lang wird dieser Schacht? mmh.. da war ich mir nicht sicher, was ich da machen soll.
1 Antwort
a) f(x) = a + be^(- x²). Einsetzen des Hochpunkts H(0 | 1,2) gibt ① a + b = 1,2
und P(1,5 | 0,7) gibt a + be^(- 2,25)= ② a + 0,1054b = 0,7.
Subtrahiere ② ‒ ① 0,8946b = 0,5 → b = 0,559 und mit ① folgt a = 0,641
b) f´(x) = ‒ 2bxe^(- x²) und f´´(x) = ‒ 2b (1‒ 2x²) e^(- x²) daher Wp. bei x ̫ = +/- ½√2
Steigung im Wp. f´(x ̫ ) = -/+ b√2 e^(- ½)
c) a + b e^(- x²) = h = 0,8 → b e^(- x²) =h ‒ a → e^(- x²) = (h ‒ a)/b → - x² =
ln (h ‒ a)/b → x² = ln b/(h - a) → x₀ = ‒√ln ... (Minus wg. Westseite).
Also Tunneleingang T(x₀ | h). Tunnellänge ist Abstand HT.
d) Mitte des Tunnels ist Mittelpunkt M von HT mit M (x₁ | y₁)
Oberes Ende vom Schacht ist E (x₁ | f(x₁)) und seine Länge ist ME.
dankeschön das war schon echt sehr hilfreich für a,b und ein teil von c aber wie muss ich die länge des tunnels ausrechen.. welche punkte muss ich da nehmen..!! und d weis ich auch nicht so.. bin mir da unsicher.. ich muss ja den schacht ausrechnen aber wie muss ich das machen?.. stimmt es das es bei c als lösung -ln(3,5) ? beim tunneleingang dann der Punkt (-1,25/0,8)..
Du hast vergessen, die Wurzel zu ziehen: Aus x² = ln3,5.. = 1,257..
folgt x = ‒ √1,257.. = ‒ 1,12... Der Tunneleingang ist T(- 1,12.. | 0,8)
und der Ausgang ist H (0 | 1,2).
Für seine Länge L gilt also L² = 1,12² + (1,2 - 0,8)²
d) M(- 0,56 | 1,0) und E(- 0,56 | f(- 0,56)) und ME ist die Differenz der y-Werte.