Habe ich hier den Grenzwert dieser Folge richtig berechnet?
Hallo. Ich wollte fragen ob ich den Grenzwert hier korrekt berechnet habe. Also der Grenzwert ist tatsächlich e^3 , in der Lösung haben sie es aber anders berechnet. Durch abschätzen. Da ich aber schlecht im abschätzen bin, hab ich es anders versucht. Bin ich nur zufällig auf das richtige Ergebnis gekommen oder ist die Rechnung hier auch richtig?
1 Antwort
Hallo,
ich hab's über Umschreiben zu e^[n*ln (1+(2+3n)/n²)] und mit de l'Hospital berechnet und bin unabhängig von Dir zum gleichen Ergebnis gekommen.
Kann dann wohl nicht ganz falsch sein.
Herzliche Grüße,
Willy
Deine Berechnung ist allerdings nicht ganz sauber. Du läßt n zwar bei 2/n gegen unendlich gehen und bekommst als Grenzwert von 2/n 0 heraus, was an und für sich ja auch richtig ist; Du hast aber immer noch ein n im Nenner und ein n im Exponenten. Das n im Exponenten aber ist ein Gegenspieler zu dem n im Nenner.
n darfst Du im Grunde erst dann gegen unendlich gehen lassen, wenn der Gegenspieler draußen ist. Sonst kämst Du bei (1+1/n)^n zu einem Grenzwert von 1 anstelle von e, denn 1/n geht zwar gegen 0 und 1+1/n gegen 1 für n gegen unendlich, aber das n im Exponenten sorgt dafür, daß der Term in der Klammer, der mit steigendem n kleiner wird, gleichzeitig zu einer größeren Potenz wird. Dieses Tauziehen gewinnt dann entweder der Exponent, dann geht es gegen unendlich - oder der Term in der Klammer - dann geht es gegen 1 - oder es findet bei einem festen Wert (hier: e) ein Gleichgewicht. Das kann man aber erst berechnen, wenn es keine n mehr gibt, die auf irgendeine Art gegeneinander arbeiten, wenn sie gegen unendlich gehen.
Ich war mir auch nicht ganz so sicher, weil es doch schon komisch aussieht 😅 aber ja..
Hmm okay, trotzdem danke dir🙏🏻 Ich schau’s mir später mal genauer an
Sieh Dir mal an, wie der Grenzwert von (1+1/n)^n=e hergeleitet wird. Dein Fall liegt ganz ähnlich. Der übliche Weg besteht darin, den Term zu e^ln (y) umzuschreiben, wobei y der potenzierte Bruchterm ist, den Exponenten als Faktor vor den ln zu ziehen und den Limes in den Exponenten von e, da e selbst unabhängig von n ist.
Dann kommst Du letztlich zu einem Grenzwert des Exponenten von 3 und so zum Grenzwert e^3.
Alles klar, danke 🙏🏻