Grenzwert (Limes) - Folgende Umformung möglich?

Die Frage ist im angehängten Bild zu finden (schönere Formatierung möglich).

Vielen Dank für eure Hilfe! :)

Edit:

Genauer geht es mir um folgendes (erster Abschnitt): 
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function#Definitions

Wobei mir auffällt: "The Dirac delta is not a function in the traditional sense as no function defined on the real numbers has these properties."

Also gibt es hierzu gar keine "Herleitung" und es ist bloss "Definitionssache"?

Answer 1

[iokii]

Der Linke Ausdruck existiert nicht, der rechte schon, von daher kann das keine gültige Umformung sein.

Wenn der Term, mit dem du startest, schon nicht existiert, kannst du auch nicht sinnvoll irgendwas umformen.

Comments

[LuckyRain]

Dann ist mir in der "Zusammenfassung" meines Problems für die Fragestellung wohl schon ein Fehler unterlaufen.

Ich habe ein weiteres Bild als Antwort hinzugefügt, da erläutere ich mein Problem nochmals. Ich wäre dir dankbar, falls du dieses mal noch betrachten würdest... :)

Answer 2

[poseidon42]

Ich gebe dir ein anderes Beispiel:

Sei f: IR --> IR  gegeben, welche von der Form:

f(x) =  {  1 , x = 0

          {  0 , sonst

Man berechne nun:

Int[-1, 1]{ f(x) dx }

Man kann dies hier in diesem Beispiel in 3 Integrale aufteilen:

Int[-1, 1]{ f(x) dx } = Int[-1, -k]{ f(x) dx } + Int[-k, k]{ f(x) dx } + Int[k, 1]{ f(x) dx}

Mit    Int[-1, -k]{ f(x) dx } = Int[k, 1]{ f(x) dx}  = 0   und   k > 0

Es folgt also:

Int[-1, 1]{ f(x) dx } = Int[-k, k]{ f(x) dx }

Betrachte nun den Betrag:

| Int[-1, 1]{ f(x) dx } | = | Int[-k, k]{ f(x) dx } | < sup| f(x) | *(2*k) ---> 0 für k ->0

Wir folgern damit also:

Int[-1, 1]{ f(x) dx }  = 0     

diese Aussage ist wahr, so lange sup| f(x) | < inf , die Funktion vom Betrag her also nach oben beschränkt ist. So könnte man hier die 1 bei x = 0 durch eine beliebige andere Konstante ersetzen und man würde immer noch den Wert 0 erhalten.

Du musst stets bedenken, dass das Vertauschen von Grenzwerten (wobei die Integration ja selber auch einen Grenzwert darstellt) mit strengster Vorsicht zu genießen ist.

Betrachten wir nun zunächst das eigentliche Problem:

lim(b->0){ lim(c->0) { Int[0, b]{ 1/c dx } } }    c > 0

Es ist einleuchtend, dass gilt:

Int[0, b]{ 1/c dx } = b/c 

Somit gilt es nun eigentlich folgendes zu berechnen:

lim(b->0){ lim(c->0) { b/c } } = ?

Dies wirft die Frage nach der Vertauschbarkeit von Grenzwerten auf, da hier die Reihenfolge in der die Grenzwerte ausgewertet werden eindeutig das Endergebnis maßgeblich beeinträchtigen.

Comments

[LuckyRain]

Vielen Dank erst mal für die ausführliche Antwort! :)

Dies wirft die Frage nach der Vertauschbarkeit von Grenzwerten auf (...)

Ist dies in der Mathematik also "allgemein" noch nicht klar oder nur bezüglich Problemen, wie diesem hier?

Und dann ist folgendes wirklich nur eine "logische Annahme"?

Int[0-, 0+] { g(x) dx } = 1,  mit g(x) = { lim[c->0] 1/c, für x = 0 }