Grenzgeschwindigkeit beschleunigter Leiter; Physik Nachtermin 2007 Ic) Induktion?

In der Aufgabe soll die Grenzgeschwindigkeit berechnet werden bei einem beschleunigten Leiter im Magnetfeld.

Gegeben ist U, R, B, d(wirksame Lange des Leiterteils im Feld)

Ich habe bereits probiert entsprechende Gleichungen umzustellen, aber ich bin mir ziemlich unsicher.

Weiß jemand, wie genau man die Grenzgeschwindigkeit in der Situation berechnet?

Ich würde auch gerne die Vorgehensweise für v(t) (eines beschleunigten Leiters) allgemein wissen, falls das durch die Beschreibung des Vorgehens für vᵍʳᵉⁿᶻ nicht klar wird.

Dankeschön!

Answer 1

[YBCO123]

Zur Grenzgeschwindigkeit:

Die Kraft auf den Leiter ist

$m\cdot\frac{dv}{dt}=\ F\left(t\right)=B\cdot I\left(t\right)\cdot l$

Durch die Bewegung im Feld induziert der Leiter eine Gegenspannung. Der Strom wird dann

$I\left(t\right)\ =\ \frac{U-B\cdot l\cdot v\left(t\right)}{R}$

Wenn man das oben einsetzt bekommt man

$m\ \frac{dv}{dt}=\ B\cdot l\cdot\frac{U-B\cdot l\cdot v\left(t\right)}{R}$

Nun überleg mal: v ist erst Null und wird dann immer größer, Irgendwann ist

$U-B\cdot l\cdot v\left(t\right)\ =0$

Das ist genau der Fall, wenn

$v\left(t\right)\ =\ \frac{U}{B\cdot l}=v_{\max}$

Dann ist nämlich der Strom Null und deshalb auch die Kraft auf den Leiter. keine Kraft heißt, dass es auch keine Beschleunigung gibt und das wiederum heißt, dass sich die Geschwindigkeit nicht mehr ändert.

Energetisch betrachtet, fließt dann keine Leistung mehr aus der Spannungsquelle, denn der Strom ist ja Null.

Das selbe Verhalten hat man bei einem (idealen) Gleichstrommotor: der hat eine Leerlaufdrehzahl, die proportional zur angelegten Spannung ist. Strom fließt im Leerlauf nur in der Anlaufphase. Statt Drehzahl haben wir hier eine Geschwindigkeit. Ansonsten ist nicht viel anders ;-)

Nun zum letzten Teil:

Die Lösung der homogenen Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist:

$v\left(t\right)=\frac{U}{B\cdot l}\cdot\left(1-e^{-\frac{B^2l^{2\ }}{m\cdot R}\cdot t}\right)$

Die Zeitkonstante, mit der die Endgeschwindigkeit erreicht wird, ist demnach

$\tau=\ \frac{m\cdot R}{B^2l^2}$

Wenn nun R gleich bleibt und m größer wird, dann wird die Zeitkonstante auch größer.

Beispiel: v(t) Diagramm

R=1Ohm, B=1T, l=0.1m, U=1V: einmal m=1kg (blau) und m=5kg(rot)

Der blaue Stab (m=1kg) erreicht die Endgeschwindigkeit früher als der rote (m=5kg). Irgendwie klar, da ja eine größere Masse beschleunigt werden muss und es daher auch länger dauert.