Gibt es überhaupt eine Funktion ,bei der sich Krümmungsverhalten ändert,aber keinen Wendepunkt hat?
2 Antworten
Ja, allerdings ist solch eine Funktion am Übergang dann nicht definiert (oder dort zumindest nicht stetig). Denn sonst wäre an der Übergangsstelle ein Wendepunkt.
Beispiel:
Diese Funktion ist für x < 0 rechtsgekrümmt und für x > 0 linksgekrümmt. Demnach wechselt die Funktion bei x = 0 von Rechts- zu Linkskrümmung. An der Stelle x = 0 ist aber kein Wendepunkt, sondern die Funktion ist dort nicht definiert.
Nein, diese Funktion hat bei x = 0 einen Wendepunkt.
Wendepunkte sind nicht nur für mindestens zweimal differenzierbare Funktionen definiert. Die Funktion muss noch nicht einmal differenzierbar sein. (Auch wenn dies in der Schule meist kein Thema ist.)
Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Definition
Beim konkreten Beispiel mit der durch f(x) = x ⋅ |x| gegegeben Funktion f: ]-∞; ∞[ → ℝ ist die Funktion stetig und im Intervall ]-∞; 0[ konkav und im Intervall ]0; ∞[ konvex, weshalb die Funktion an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt hat.
Bzw. ist die durch f(x) = x ⋅ |x| gegegeben Funktion außer bei x = 0 an jeder Stelle zweimal differenzierbar, und man kann ermitteln, dass f''(x) < 0 für x < 0 und f''(x) > 0 für x > 0 ist. Da es sich um eine stetige Funktion handelt, die an der Stelle x = 0 von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung übergeht, hat die Funktion an der Stelle x = 0 einen Wendepunkt.
Nach der Definition
Sei f eine an der Stelle x W differenzierbare Funktion. Die Stelle x W heißt eine „Wendestelle“ genau dann, wenn f ' an der Stelle x W ein lokales Extremum hat. Der zugehörige Punkt W = ( x W | f ( x W)) des Graphen von f heißt „Wendepunkt“
(Quelle: http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/VS/K9_Differentialrechnung/K6_Wendepunkte/Wendepunkte.html )
ist einmalige Differenzierbarkeit an der betreffenden Stelle notwendig. D. h.
f(x) = (x+1) |x|
hat an der Stelle 0 keinen Wendepunkt (da hier nicht differenzierbar), ändert aber immer noch ihr Krümmungsverhalten.
Nach
https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Definition
wird hingegen tatsächlich nur Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt. Aber immerhin dies.
Danach hätte
f(x) = 1/x für x ungleich 0
= 0 für x gleich 0
keinen Wendepunkt bzw. die Wendepunkteigenschaft ist in x=0 nicht entscheidbar.
Nein, denn das ist genau die Definition eines Wendepunkte: dort ändert sich das Krümmungsverhalten.
Stetig kann die Funktion dort sein, auch noch stetig differenzierbar; nur die zweite Ableitung darf dort nicht definiert sein. Beispiel:
f(x) = x • |x|