Für welche Funktion ist das Vektorfeld ein Gradientenfeld?

Hallo,

Eigentlich kenne ich die vorgehensweise für solche Aufgaben, nur verwirrt mich,dass die gesuchte Funktion phi(x,y) im Vektorfeld enthalten ist. Weiss nicht wie ich da nun vorgehen soll. Bitte um hilfe

Answer 1

[Slevi89]

Falls deine Frage noch aktuell ist, hier mein Ansatz:

Zunächst prüfen wir auf die Integrabilitätsbedingung. Denn nur wenn diese erfüllt ist, können wir auch eine Stammfunktion finden.

Es folgt also

$\frac{f1}{dy\ }\ =\ x^2\psi'\left(y\right)\ +\ 2y\rho\left(x\right)$ und

$\frac{f2}{dx}=\ 3x^2$ es muss gelten

$\frac{f1}{dy}=\frac{f2}{dx}\ \ \text{}$ also

$x^2\psi'\left(y\right)\ +2y\rho\left(x\right)\ =\ 3x^2$ Die direkte Lösung ist hier ein Koeffizientenvgl. woraus folgen würde

$\psi'\left(y\right)\ =\ 3\ \ \ \ und\ \rho\left(x\right)\ =\ 0$ Ob es noch weitere Lösungen gibt, kann ich auf die schnelle nicht sagen.
Für den Ansatz über die Koeff. folgt dann aber

Gl (1): $\psi\left(y\right)\ =\ 3y\ +C$

Jetzt können wir auch testen.

Nehmen wir den Vektor V aus deiner Aufgabe und betrachten die 2te Zeile. Hier ist das Integral schnell gebildet:

$\int x^3+y\ dy\ =\ yx^3\ +\frac{1}{2}y^2\ +\ d\left(x\right)$

Wenn wir diese Funktion nach x ableiten, muss die erste Zeile von V herauskommen. Also muss gelten:

$3yx^2\ +\ d\ '\ \left(x\right)\ =\ x^2\left(3y+c\right)\ =\ 3yx^2+x^2c$ weiter vereinfacht

$d\ '\left(x\right)\ =\ x^2c\$ und letztlich

$d\left(x\right)\ =\ \frac{1}{3}x^3c$

Die Stammfunktion von V wäre also:

$yx^3\ +\ \frac{1}{2}y^2+\frac{1}{3}x^3c$ machen wir den Test und bilden die partiellen Ableitungen:

Ableitung nach x liefert:

$3yx^2+x^2c\ =\ x^2\left(3y+c\right)\ =\ x^2\psi\left(y\right)\ \ \ \ \ \ \$

Ableitung nach y liefert:

$x^3+y$

Beides passt also. Woraus folgt, dass für

$\psi\left(y\right)\ =\ 3y+c\ \ \ und\ \rho\left(x\right)\ =\ 0\$ das Vektorfeld V ein Gradientenfeld ist.