Für jede reelle Zahl a gibt es eine Folge rationaler Zahlen, die gegen a konvergiert?
Wie zeige ich das am besten?
Lg und danke :)
2 Antworten
Sei Z die reelle Zahl und o.B.d.A. Z positiv. Sei q eine natürliche Zahl. Betrachte nun R(x)=q*Z-x wobei wir für x nur natürliche Zahlen einsetzen. Dann ist R(0)>0 und es existiert ein natürliches L so dass R(L)<0 und auch für alle Argumente grösser als L. Ausserdem gilt R(x)-R(x+1)=1, also macht R immer Schritte der Länge 1. Deswegen hat R(p) für ein p höchstens den Abstand 1 vom Punkt 0. In Zeichen ausgedrückt: |q*Z-p|<=1. Daraus folgt mit Division durch q:Es gibt also für jedes Z und q ein ganzes p, sodass p/q höchstens den Abstand 1/q von Z hat. Deshalb können wir jede reelle Zahl beliebig durch einen Bruch annähern. Diese Abschätzung können wir natürlich noch verbessern, aber das ist hier gar nicht nötig.
Für Z kannst du dann eine beliebige streng wachsende Folge natürlicher Zahlen q_n wählen als Zähler und einen jeweils dazugehörigen Zähler p_n der die Annäherung von oben erfüllt. Nun ist a_n=p_n/q_n eine rationale Folge, die gegen Z konvergiert.
´´Ausserdem gilt R(x)-R(x+1)=1, also macht R immer Schritte der Länge 1. Deswegen hat R(p) für ein p höchstens den Abstand 1 vom Punkt 0.´´
Kannst du mir das erklären warum ist dieses der Fall?
Wenn wir akzeptieren, dass jede reelle Zahl Z eine Darstellung als Dezimalbruch hat, d.h.
wobei Z_0 eine ganze Zahl und d_n ganze Zahlen in [0,9] sind, dann ist
eine Folge rationaler Zahlen, die monoton gegen Z konvergiert.