Frage zur Diagonalisierbarkeit von Matrizen?

Hallo, mich beschäftigt folgender Satz:

Seien A,B hermitesche Operatoren, dann gilt:

A,B sind simultan diagonalisierbar <=> AB=BA

Die Beweisidee ist die folgende:

B hermitesch => B besitzt orthonormale Eigenbasis => Vektorraum V lässt sich unterteilen in die Summe der einzelnen Eigenräume

Jetzt beschränkt man den Operator A auf einen der Eigenräume, nennen wir in E(a)

mit Eigenwert a. Man zeigt, dass AB=BA impliziert, dass A(v) Element von E(a) ist, wobei v ebenfalls aus E(a) ist.

Soweit so gut. Die Einschränkung von A auf E(a) ist auch hermitesch => A auf E(a) besitzt eine Eigenbasis. Da die Eigenvektoren dieser neuen Eigenbasis aber in E(a) liegen sind sie nicht nur Eigenvektoren von A eingeschränkt auf E(a) sondern auch von B.

Was ich aber nicht verstehe: Ich will ja zeigen, dass A und B beide durch die gleiche Eigenbasis diagonalisiert werden können. Dh. wenn ich die Eigenwerte von A und die dazugehörigen Eigenwerte ausrechnen möchte, dann soll das nach dem Beweis die Vereinigung aller Eigenvektoren sein, die ich bekomme, wenn ich A nur auf E(a) beschränke.

Könnte es nicht aber sein, dass es auch Eigenwerte von A gibt, die mir Eigenvektoren liefern, die kein Element von den Eigenräumen E(a) sind? Der Beweis, der i.G. ja eine Art Algorithmus ist, setzt aber voraus, dass alle Eigenvektoren von A auch in den Eigenräumen E(a) liegen, oder nicht?

Danke für Hilfe!