Frage zu Termumformung?

Wie kommt man von dem zweiten Schritt in der Termumformung zu den nächsten Schritten? Ich verstehe nicht, wie man das umformt um so einen Rechenweg zu erhalten.

Answer 1

[verreisterNutzer]

Potenzgesetz:

$a^{b+c}=a^b\cdot a^c$

Und daher:

$2^{x+h}-2^x=2^x\cdot2^h-2^x=\left(2^h-1\right)\cdot2^x$

Ansonsten sollte man noch wissen:

$\ln\left(x\right)=\lim_{h\to0}\ \frac{x^h-1}{h}$

Und daher ist in der Lösung der Grenzwert des Ausdrucks in der Klammer gleich ln(2) ≈ 0,693

Anmerkung: Angesichts der Tatsache, dass man hier nicht die exakte Lösung

$f'\left(x\right)=\ln\left(2\right)\cdot2^x$ hingeschrieben hat, frage ich mich allerdings schon, von welchen mathematischen Voraussetzungen man hier ausgehen soll bzw. ausgehen darf. Ich wäre jetzt nicht zwingend auf diese Grenzwert-Definition des natürlichen Logarithmus gestoßen, wäre mir bei 0,693 nicht sofort "Das sieht doch aus wie ln(2)" in den Kopf geschossen.