Frage zu disjunkten Zyklen (Permutationen)?

Meint man mit paarweisen disjunkten Zyklen, dass man aus Zyklen Transpositionen macht?

Answer 1

[mihisu]

Nein, es müssen nicht unbedingt Transpositionen sein.

Die Zyklen sind paarweise disjunkt, wenn es keine Zahl gibt, die von zwei (oder mehr Zyklen) auf eine andere Zahl abgebildet wird, sondern höchstens von einem.

Beispiel:

Betrachte die Permutation...

$\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 4 & 1 & 5 & 2 & 3\end{pmatrix}$

..., welche 1 auf 4 und 2 auf 1 und 3 auf 5 und 4 auf 2 und 5 auf 3 abbildet.

Die Permutation kann man nun beispielsweise folgendermaßen als Verkettung von Zyklen darstellen:

$[\text{Darstellung 1}]:\quad\sigma = \left(1\ 4\ 2\right)\circ \left(3\ 5\right)$

$[\text{Darstellung 2}]:\quad\sigma = \left(2\ 4\ 5\right)\circ \left(1\ 2\right)\circ \left(3\ 4\ 5\right)$

Bei Darstellung 1 sind die Zykel (1 4 2) und (3 5) disjunkt. Darstellung 1 ist also eine Darstellung der Permutation mit paarweise disjunkten Zyklen.

Bei Darstellung 2 sind beispielsweise die Zykel (2 4 5) und (1 2) nicht disjunkt, da die 2 in beiden Zyklen vorkommt (im einen Zykel wird 2 auf 4 abgebildet im anderen Zykel wird 2 auf 1 abgebildet). Dementsprechend ist Darstellung 2 keine Darstellung der Permutation mit paarweise disjunkten Zyklen.