Exponentielles Wachstum, Erklärung?

Exponentielles Wachstum - (Schule, Mathematik)

3 Antworten

G steht für "Generation" und die Indexzahl für die Nummer der Generation. Die erste Generation wäre also G1, die 10. Generation G10 und wenn eben allgemein über irgendeine Generation gesprochen wird, Gn, wobei n eine natürliche Zahl ist.

G0 ist die Anfangspopulation.

Und der Rest steht ja da: Mit jeder Generation vervielfacht sich die Anzahl um einen festen Faktor. Beispielsweise verdoppelt oder verdreifacht sie sich,

So kann man eben sagen: Die Anzahl in der n. Generation ist die Anfangspopulation * q^n.

Wenn Du beispielsweise ein Bakterium hast und sich das mit jeder Generation verdoppelt, dann gilt:

G0 = 1

G1 = 1 * 2^1 = 2

G2 = 1 * 2^2 = 4

etc.

Und allgemein eben:

Gn = 1 * 2^n

ok, hab ich vertanden ud jetzt habe ich eine Aufgabe da steht:

Eine Bakterienkultur wächst exponentiell. Um 8:00 Uhr betrug die Anzahl der Keime 1100, um 9:00 Uhr sind es 1254 Keime.  

a) Bestimme zunächst die Wachstumsrate und anschließend den Wachstumsfaktor. Wie kriege ich denn die Wachstumsrate heraus, da steht ja nicht wie viel % ??

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@Lucky1003

Also. Es ist ja G0 = 1100 und G1 = 1254. Jetzt kannst Du ja noch Prozentrechnung und weißt, dass Du rechnen kannst G1 / G0, um die Wachstumsrate rauszukriegen. Das wären dann 14%, denn G1 / G0 = 1,14.

Außerdem weißst Du ja, dass gilt:

Gn = G0 * q^n, somit im Speziellen auch:

G1 = G0 * q^1 = G0 * q

Und Überraschung! Was ist dann q?

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@ohwehohach

Also ist q= 1,14 

So und Aufgabe b) Trage die Anzahl der Keime von 6:00 Uhr bis 13:00 Uhr in eine Tabelle ein. Also muss ich jetzt G0 mal q hoch n rechen umd auf Gn zu kommen? --> Nur wie hoch ist n denn jetzt?

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@Lucky1003

n ist irgendeine Zahl. Wenn wir die Generation um 8 Uhr mal G0 nennen, dann ist n hier 0. Für die Generation um 9 Uhr wäre n eben 1. n steht für "irgendeine Generation". Um welche Uhrzeit n welchen Wert hat kommt darauf an, wann Du G0 hast.

Um 7 Uhr hast Du dann eben G-1 und um 6 Uhr G-2. Da kommen Zahlen raus. Ebenso für 10 Uhr (n = 2), 11 Uhr (n = 3), etc.

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@ohwehohach

also um 10 habe ich 1429,56  n=2

um 11 1629,69  n=3

um 12 1857,85  n=4

um 13 2117,95   n=5

Aber um 6 und um 7 kann doch nicht 1 und 2 weil das ja schon 11 und 12 sind???

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@Lucky1003

7 Uhr ist n = -1 und 6 Uhr ist n = -2! Bedenke dabei: x^-z = 1/x^z

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@Lucky1003

Das erklärt, wie man G0 * q^-1 oder q^-2 ausrechnet. q hoch -2 ist gleich 1 durch q hoch 2.

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ob G F n X oder auch Penis steht ist egal. es sind Variablen oder Funktionen.

In den meisten Fällen hast du ein Koordinaten system. Die X-Achse hat z.b. die Variable x (kann auch Herbert heissen). So wäre die Funktion f(x) oder f(Herbert) oder G(x). 

Wichtig ist, dass du das prinzip verstehst.
Angenommen ich habe die FUnktion f(x)=3x+2 
f(x) kann man auch y nennen (weil es der y-achse entspricht).

d.h. wenn du den Wert x=0 nimmst und einfügst hast du y=2

d.h. die Funktion fängt an bei (0|2) im Koordinatensystem.
jetzt nimmst du x=1 dann ist y = 5 
x = 2 -> dann ist y=8 
Das wäre eine lineare Steigung weil es in den gleichen Abständen immer gleich ansteigt.

Exponentielle STeigung ist es, wenn in den gleichen Abständen NOCH MEHR ansteigt (also nicht immer gleich)
z.b. nehmen wir  P(c)= c² 
(es ist egal wie man variablen nennt, für gefwöhnlich aber in der mathematik nehmt man für das unbekannte xyz und für die funktion f,g,h also wäre es dann f(x) usw.)
also bei c=0  p(c)= 0, bei c=1 ist p(c)=1 (aha um 1 Gestiegen). bei c=2 ist p(c) = 4 (omg um 3 gestiegen, wird ja immer mehr ._.) bei c=3 ist p(c) =9 und deshalb exponentiell weil er quasi durch eine exponente immer höher und höher ansteigt obwohl die abstände gleich sind.

Ganz easy oder? Fragen?

G0 wäre der Anfangswert, fängt bei null an.
Bei Gn ist der letzte wert, hört also bei n auf (n ist irgendeine Zahl die dann in aufgaben gegeben ist oder gesucht ist.)

Was meinst Du mit "fängt bei 0 an"?

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