Ermittle die Produktionsmenge, bei welcher der Gewinn je Mengeneinheit am größten ist. Gegeben: K(x)=0,1x^3 - 7x^2 +220x + 800 und E(x)= 250x ; Ansatz?

  Dies Teil 3 meiner Antwort; bitte erst Teil 1 und 2 durch arbeiten.

Besagter Kulze hätte wieder die Kreide durch gebrochen

  " Meine Damen und Herren; wir haben uns das letzte mal mit den AF beschäftigt. "

  In Anwendung der beiden AF ( 2.4ab ) auf das Polynom ( 1.1c )

      a2 = - ( p + x3 ) = ( - 70 ) ===> p = 81.88     ( 3.1a )

      a0 = - q x3 = 8 000 ===> q = 673.4      ( 3.1b )

        g ( x ) = x ² - p x + q =      ( 3.1c )

                   = x ² - 81.88 x + 673.4 = 0    | MF      ( 3.1d )

       x1;2  =  40.94  -/+  sqr  (  40.94  ²  -  673.4  )  =  (  3.2a  )

               =  40.94  [  1  -/+  sqr  (  1  -  673.4  /  40.94  ²  )  ]  =  (  3.2b  )

               =  40.94  [  1  -/+  .7734  )     (  3.2c  )

        x1  =  22.66  %  *  40.94  =  9.277   (  3.2d  )  ;  vgl. Wolfram

        x2  =  40.94  *  1.773  =  72.59   (  3.2e  ) ;  vgl. Wolfram

    Warum habe ich mich der Art ausführlich damitbefasst? Die eigentliche Extremalaufgabe führt nämlich auch auf eine kubische Gleichung; Ableitung von  (  1.1b  )

   g  '  (  x  )  =  -  1/5  x  +  7  +  800  /  x  ²  =  0   (  3.3a  )

                       x  ³  -  35  x  ²  -  4  000    (  3.3b  )

   Diesmal steht die CV auf unserer Seite; wir erwarten ja ein eindeutiges Maximum - PD und AF können entfallen. Ist das Ergebnis plausibel?

    x1  <  x  (  max  )  <  x2     (  3.4  )

So, du hast eine Gewinn und eine Kostenfunktion und sollst berechnen, wann der Gewinn je Mengeneinheit am größten ist.

Wenn es um Gewinn geht, wirst du die Gewinnfunktion aufstellen müssen und die ergibt sich in dem du Erlöse Minus Kosten rechnest.

Gewinn = Erlöse - Kosten

250x - (0,1x^3 - 7x^2 +220x + 800)

Dabei musst du die Rechenregeln minus mal minus gleich plus und so was beachten. Darum setzt man die Kostenfunktion auch in Klammern.

G(x) = -0,1x^3 + 7x^2 + 30x - 800

Von der Gewinnfunktion brauchst du jetzt den Extremwert bzw. nur den x-Wert davon, weil die Menge gesucht ist. 

Also:

- 1. Ableitung bilden

- Nullsetzen

- x bestimmen

- 2. Ableitung aufstellen (Nachweis das es ein Extrema ist)

  Ständig setzt er meinen Puffer auf Blank; ich muss das risiko wieder minimieren und Häppchen weise abschicken.

Die Antwort ist durchaus falsch. E - K gibt Gewinn

      G ( x ) = - .1 x ³ + 7 x ² + 30 x - 800     ( 1.1a )

        Jetzt steht da aber Gewinn je Mengeneinheit:

      g ( x ) := G ( x ) / x = - .1 x ² + 7 x + 30 - 800 / x     ( 1.1b )

     Machen wir die Kurvendiskussion; bei einer gebrochen rationalen Funktion musst du immer von Rechts kommen. Zunächst die Asymptotik; für x ===> ( °° ) hast du im Wesentlichen eine nach Unten geöffnete Parabel. die Stückkosten werden unrentabel; explodieren. Genau so für x gegen ( + 0 ) ; das Residuum der Hyperbel ist negativ. Bei Annäherung an den Pol von Rechts haut der Graf ab nach ( - °° ) Wir erwarten tatsächlich ein Maximum.

  ( Das ist genau der Grund, warum du von Rechts kommen musst. Das Vorzeichen des Residuums stimmt mit dem vorzeichen der Polstelle überein. )

    Aber bei kaufmännischer Interpretation ist etwas anderes viel wichtiger; kommen wir überhaupt je in die Gewinnzone? Die Suche nach ( positiven ) Nullstellen von ( 1.1b )

       f ( x ) = x ³ - 70 x ² - 300 x + 8 000 = 0 ( 1.1c )

        Die Suche hat immer mit der cartesischen Vorzeichenregel ( CV ) zu beginnen; eine negative ist uns sicher. Ausgerechnet in dem uns intressierenden positiven Fall hüllt sich die CV in sibyllinisches Schweigen - kein Wunder; denn von der Höhe des Maximums hängt es ja ab, ob es noch reicht.

    Schau mal, was Pappi alles weiß

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

       Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )    ( 1.1c ) kann wenn ÜBERHAUPT rationale, so nur GANZZAHLIGE Wurzeln haben. Naa; hast du deinen Schock überwunden? Das japanische ===> Zen bezeichnet den Moment der Erleuchtung als ===> Satori.

    " Satori ist, wie wenn dir ein Tiger ins Genick springt. "

     Trotzdem kann der SRN nicht von Gauß stammen; diese Behauptung ist eine Jahrtausendfälschung.

1) Warum hat dein Lehrer noch nie vom SRN gehört?

  2) Wiki kann kein Zitat vor 2006 vorweisen, dem wahrscheinlichen Entdeckungsjahr. Als seriös gilt international das Zitat ===> v.d. Waerden ( 1930 )

    3) Aus dem SRN folgt ein eben so trivialer wie kanonischer beweis für die Irrationalität von Wurzel ( 2 ) u.Ä. Warum ist in den letzten 200 Jahren noch keiner drauf gekommen?

4) Am Schwersten wiegen für mich drei eigene Entdeckungen, die ich unmittelbar in der Woche machte, nachdem ich vom SRN erfuhr. Eine woche im Vergleich zu 200 Jahren ...

   Mal ganz allgemein aus der Algebravorlesung; für ein kubisches Polynom stellt sich doch die Alternative: Entweder es ist prim so wie hier, das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ab.

  Wenn der Vater meines Freundes Max & Moritz als Gute-Nacht-Geschichte vor las, dann sagte er immer

  " Dieses war der erste Streich; doch der zweite folgt morgen Abend. "

 " Die Hügel sind purpurrot. "

 " Schneefall ist stärker geworden. "

Gewinn = Erlöse - Kosten

G(x) = E(x) - K(x)

Dann G ' (x) = 0 ... x ausrechnen und in G '' (x) einsetzen, um zu zeigen, dass x eine Extremstelle ist, die zu einem Maximum gehört.

Dies ist bereits Teil 2; bitte erst Teil 1 durch arbeiten.

 Unser Perfektionist Prof. Kulze hätte rituell die Kreide durch gebrochen mit den geflügelten Worten

  " Meine Damen und Herren; wir haben uns das letzte mal mit dem SRN beschäftigt. "

Ich würde jetzt den TR programmieren mit dem Hornerschema ; dann suchst du die negative Wurzel durch fort gesetztes Halbieren des Intervalls ( " Bit shift " ) - mehr Mühe würd ich mir damit nicht machen. Wolfram gibt

          x3 = ( - 11.88 )     ( 2.1a )

              Polynomdivision ( PD ) durch Gleitkommagrößen verlangt nicht mal das Internet. Es ist mir durchaus schleierhaft, wieso eure Lehrer an dem quietschenden, rostigen Getriebe der PD fest halten; schon in den 90-ern entwickelte ich zwei pq-Formeln als Alternative. Aber wie sollten sie heißen? ===> Michael Ende hatte sein Erfolgsbuch " Jim Knopf " eigens für mich verfasst, da war ich erst 9 . Kronzeuge ist der Vater meines Freundes Mike, der mir durch seinen Sohn bestellen ließ

   " Michael Ende ist nicht dem Alfons sein Erziehungsberechtigter; wie kommt der dazu, ein Buch zu drucken, was alles er am Alfons so toll findet? "

    Mein erster Username bei dem Konkurrenzportal ===> Lycos war " Alfons 3/4 XII " nach einer Figur aus besagter Erzählung. Na und da fand ich es eben witzig, meine Formeln zu taufen als " erste und zweite Alfonsinische pq-Formel " ( AF ; du kannst längst nach ihnen googeln. ) Gehen wir rein formal von der euch wohl bekannten PD aus; was will ich mit PD erreichen? Zu dem kubistischen Polynom f ( x )  in ( 1.1c ) das quadratische Faktorpolynom g ( x ) aufstellen.

        f ( x ) = ( x - x3 ) g ( x )      ( 2.1b )

      Vieta das geschmähte Stiefkind; den Vieta von g kennst du

         p = x1 + x2      ( 2.2a )

       q = x1 x2          (  2.2b )

       Der Vieta von f ist jetzt vielleicht nicht so bekannt

          a2 = - ( x1 + x2 + x3 )       ( 2.3a )

           a0 = - x1 x2 x3       ( 2.3b )

        Und jetzt lege den Rückwärtsgang ein; einsetzen von ( 2.2a ) in ( 2.3a ) so wie ( 2.2b ) in ( 2.3b )

         a2 = - ( p + x3 )       ( 2.4a )    ; AF1

         a0 = - q x3        ( 2.4b )         ; AF2

     Seit Je sind Unbekannte bei den Schülern bestens eingeführt; mit sicherheit hattest du schon schwerere ( und dazu noch gekoppelte ) Systeme zu bewältigen. Vorsicht; AF stammen von Vieta ab. Im Gegensatz zu PD ist stets darauf zu achten, dass die Normalform wie in ( 1.1c ) vor liegt.

" Dieses war der zweite Teil; doch der dritte folgt morgen Abend. "

 " Die Hügel sind purpurrot. "

 " Schneefall ist stärker geworden. "