Eichstrich bestimmen
Hallo. In der Aufgabe habe ich ein Weizenbierglas, dessen Randkurve annähernd durch die Funktion: f(x) = -2.306 *10^-4 x^3 + 6,115 *10^-3 x^2 + 4,94 *10^-3 x +2,8 bestimmt werden kann. Das Volumen habe ich schon ausgerechnet. Es beträgt 571,29 cm^3.
Die nächste Aufgabe ist nun, die Lage der Eichmarke für 0,5 Liter zu bestimmen. Weiß leider nicht wie ich das nun berechnen soll...
2 Antworten
Die Formel für das Volumen hast Du schon? Dann musst Du einfach V=500 setzen und nach der Höhe umformen.
Natürlich kann man die Funktion zeichnen. Warum auch nicht?
Meine Frage zielte mehr in die Richtung: Überprüfe deine Formel. Du musst die Fläche unter der Funktion (Das Integral) mit pi multiplizieren.
Deine "0 bis 18" ist sozusagen die Höhe des Glases, die F(x) ist der Durchmesser.
Genau, so meinte ich das eigentlich auch. Wenn du die 18 von meiner Formel mit einem x vertauschst, haben wir ja die gleiche Formel für das Rotationsvolumen ^^ Mein Problem ist jetzt nur, dass ich nicht weiß, wie ich das auf x umstellen soll... Wie soll ich denn auf der einen Seite eine Zahl raus bekommen und auf der anderen Seite nur das x? Wie kann ich das Integral zeichnen wegbekommen? Und wie wieder Funktion? Verstehst du was ich meine? Bin gerade völlig verwirrt
Eigentlich klang das nach einer HAusaufgabe und demzufolge sollte das eigenlich im Unterricht erklärt worden sein, aber ich will es mal versuchen ob ich es noch hinbekomme.
(Zur Selbstkontrolle: Mit dem TaschenRechner ermittelt: 500/PI ca. =159,15494, also muss das Integral ungefähr diesen Wert liefern => Grenze unten bleibt ja Null; Grenze oben ungefähr 16,166)
Wenn Du das unbestimmte Integral hast, ist ja für das bestimmte: F(x)[mit x=der oberen Grenze also x] MINUS F(x)[mit x=der unteren Grenze also 0]. Daraus folgt:Der 2. Term ist genau gleich 2,8 (0•(irgendwas) ist immer 0).
Es bleibt also stehen: 500/PI= (-2.306 *10^-4 x^3 + 6,115 *10^-3 x^2 + 4,94 *10^-3 x +2,8)² - (2,8)². Jetzt musst Du nur noch nach x auflösen und fertig ist der Lack!
Das schaffst Du jetzt, oder?
Mal ein viel einfacheres Beispiel, nur zum Üben. Die Randkurve von einem Glas sei y = f(x) = √x + 4 im Bereich von x = 0 bis x = 12 . Das Schaubild ist ein Stück von der oberen Hälfte einer Parabel, die nach rechts geöffnet ist. Am besten, Du skizzierst sie Dir mal. Wenn diese Kurve um die x-Achse rotiert, sieht es aus wie ein liegendes Trinkglas (ohne Boden). Das enthaltene Volumen ist V = π • ∫ y² dx = π •∫ (x + 4) dx = π • [0,5x² + 4x] von 0 bis 12. Also V = π • (0,5•144 + 48) =120 π = ca. 377 cm³ (wenn alle Maße in cm)
Wenn man jetzt wissen will, in welcher Höhe h über dem Boden der Eichstrich für 200 cm³ ist, muss man π ∫ (x + 4) dx von 0 bis h gleich 200 setzen. Also π [0,5x² + 4x] von 0 bis h muss 200 sein, π (0,5h² + 4h) = 200 → 0,5h² +4h = 200 : π = 64 (gerundet) → h² + 8h – 128 = 0. Die (pos.) Lösung ist h = 8, der Eichstrich ist in 8cm Höhe.
Nun zu Deiner Aufgabe f(x) = ax³ + bx² + cx + d mit a = - 0,0002306, b = 0,006115, c = 0,00494 und d = 2,8. Vor dem Integrieren musst Du das ja noch quadrieren. Das gibt ja ein fürchterliches Ungetüm von Funktion. Ich kann kaum glauben, dass Du das Volumen geschafft hast, jedenfalls nicht mit einem normalen TR. Wenn Du tatsächlich die Eichmarke ausrechnen willst, viel Glück. Ich würde zumindest zuerst nur mit Buchstaben rechnen.
Nachtrag: Wenn h die gesuchte Höhe der Eichmarke ist, dann ist V(h) eine ganzrationale Fkt. 7. Grades. Ihre Nullstelle(n) zu berechnen stelle ich mir nicht ganz einfach vor (evtl. Newtonsches Näherungsverfahren).
In seinem Kommentar an mich hat demux das unbestimmte Integral von f(x)² ganz richtig ausgerechnet, nämlich, (auf Hauptnenner gebracht) : x(30a²x^6 + 70abx^5 + {42b² + 84ac}x^4 + 105{ad + bc}x^3 + 70{c² + 2bd}x^2 + 210cdx^1 + 210d²) / 210 . Dazu schreibt er/sie „Man sieht es hoffentlich, dass (in der Klammer) x nur mit geraden Hochzahlen auftaucht …“ Ich sehe das nicht. Oder sind 1, 3, 5 gerade?
Hallo stekum,
ich habe meinen Kommentar aus gutem Grund ersetzt, weil ich mich da einfach auf dem Holzweg befand. Aber wie schon gesagt es geht auch ohne Näherungsverfahren, gibt die Formel einfach mal in den Rechner in genannten Link ein - Du wirst überrascht sein! :)
Ich gebe aber zu, das ich es ohne Rechner nicht, zumindest nicht mal so eben, berechnen hätte können.
Viele Grüße
Wie kann ich denn die Integralformel auf eine Variable umstellen.. Also ich verstehe schon was du meinst, ich weiß aber nicht wie das gehen soll..
Also die Formel ist ja: Integral von 0 bis 18 * Pi * ( f(x) )^2 dx Integral von 0 bis 18 * Pi * ( f(x) )^2 dx = 200 ????