Darf man bei der Formel für die Berechnung von Schnittwinkeln, die Betragsstriche im Zähler weglassen?
Und warum muss man, wenn man mit zwei Vektoren, bei welchen einer eine variable x-Koordinate hat, beim Ergebnis, auch wenn man die Wurzel zieht, nur das positive Ergebnis nehmen? Beispiel: Der Winkel zwischen den vektoren a=(0, 1,0) und b=(wurzel(3),b,0) ist 30 Grad, bestimmen Sie die fehlende Koordinate (b). Es steht beim auflösen ganz zum schluss b^2=9. Jedoch darf man als Koordinate nur +3 und nicht - 3 nehmen. Hängt es mit etwas trivialem zusammen? Danke im Voraus.
2 Antworten
Ganz einfach: für b = -3 schließen die beiden Vektoren einen Winel von 150° ein.
Die Betragsstriche (in den meisten Formeln zur Winkelbestimmung) sorgen dafür, dass nur Winkel zwischen 0° und 90° herauskommen. Bei zwei Geraden ist das z.B. reine Vereinbarunsgsache, dass man grundsätzlich den kleineren Winkel angibt.
Zwei Vektoren (von einem Anfangspunkt abgetragen) können jedoch auch Winkel zwischen 90° und 180° einschließen - daher hier keine Betragsstriche.
siehe Mathe-Formelbuch "Schnittwinkel zwischen 2 Geraden"
Formel cos(a)=m1*m2/((m1)*(m2))
m1*m2=m1x*m2x+m1y*m2y+m1z*m2z=b bei dir
Betrag (m1)=Wurzel(m1x^2+m1y^2+m1z^2)= 1 bei dir
" (m2)=Wurzel(m2x^2+m2y^2+m2z^2)= Wurzel(3+b^2)
Geradengleichung g: x=a+r*m
hier nehmen wir a(0/0/0)
damit haben wir m1=a=(0/1/0) und m2=b= (Wurzel(3)/b,0)
Wegen cos(30°)=0,866..=1/Wurzel(3+b^2)
b^2=1/0,866^2-3 ergibt b1,2=Wurzel(1/0,866^2-3)=+/- Wurzel(-1,666..)
Wurzel aus einer "negativen " Zahl ergibt kein "reelles Ergebnis"
Rechne mal mit b=Wurzel(1,666)=1,29.. und überprüfe, ob das Ergebnis stimmt.
Den Rest schaffst du selber.